Les Éléments d'Euclide Livre I

23 définitions · 5 demandes · 5 notions communes · 48 propositions

Proposition I.20 · Théorème

Dans tout triangle, deux côtés pris ensemble de quelque manière que ce soit sont plus grands que le côté restant.

Déplacez les points entourés de rouge. La figure change, et chaque étape de la démonstration reste vraie.
  1. Soit ABC un triangle. Je dis que dans le triangle ABC deux côtés quelconques, pris ensemble, sont plus grands que le troisième ; par exemple BA, AC sont plus grands que BC. (Essayez de déplacer les sommets.)
  2. Prolongeons BA jusqu'au point D, en faisant AD égale à CA.
    Demande 2Proposition I.3
    Demande 2 : Prolonger indéfiniment, selon sa direction, une droite finie.
    Proposition I.3 : Deux droites inégales étant données, retrancher de la plus grande une droite égale à la plus petite.
  3. Menons DC.
    Demande 1
    Demande 1 : Mener une droite d'un point quelconque à un point quelconque.
  4. Puisque DA est égale à AC, l'angle ADC est égal à l'angle ACD.
    Proposition I.5
    Proposition I.5 : Dans les triangles isocèles, les angles à la base sont égaux entre eux et, si l'on prolonge les droites égales, les angles sous la base seront égaux entre eux.
  5. Mais l'angle BCD est plus grand que l'angle ACD ; donc l'angle BCD est plus grand que l'angle ADC.
    Notion commune 5
    Notion commune 5 : Le tout est plus grand que la partie.
  6. Dans le triangle DCB, l'angle BCD est plus grand que l'angle BDC, et le plus grand angle est sous-tendu par le plus grand côté ; donc DB est plus grande que BC.
    Proposition I.19
    Proposition I.19 : Dans tout triangle, le plus grand angle est sous-tendu par le plus grand côté.
  7. Mais DB est égale à BA, AC pris ensemble ; donc BA, AC sont plus grands que BC. De même AB, BC sont plus grands que CA, et BC, CA plus grands que AB.