Предложение I.20 · Теорема
Во всяком треугольнике две стороны, взятые вместе как угодно, больше оставшейся.
Перетаскивайте точки, обведённые красным. Чертёж меняется, а каждый шаг доказательства остаётся верным.
- Пусть ABC — треугольник. Утверждается, что в треугольнике ABC любые две стороны, взятые вместе, больше оставшейся; например, BA, AC вместе больше BC. (Попробуйте перетащить вершины.)
- Продолжим BA до точки D и отложим AD, равную CA.Постулат 2Предложение I.3Постулат 2: И что ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.Предложение I.3: Даны две неравные прямые; отнять от большей прямую, равную меньшей.
- Проведём DC.Постулат 1Постулат 1: Допустим, что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.
- Так как DA равна AC, угол ADC равен углу ACD.Предложение I.5Предложение I.5: У равнобедренных треугольников углы при основании равны между собой, и по продолжении равных прямых углы под основанием будут равны между собой.
- Но угол BCD больше угла ACD; значит, угол BCD больше угла ADC.Аксиома 5Аксиома 5: И целое больше части.
- В треугольнике DCB угол BCD больше угла BDC, а против большего угла лежит большая сторона; значит, DB больше BC.Предложение I.19Предложение I.19: Во всяком треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
- Но DB равна BA и AC вместе; значит, BA, AC вместе больше BC. Подобным же образом AB, BC больше CA, а BC, CA больше AB.
Что и требовалось доказать.