साध्य I.20 · प्रमेय
किसी भी त्रिभुज में, किन्हीं दो भुजाओं का योग शेष भुजा से बड़ा होता है।
लाल घेरे वाले बिंदुओं को खींचिए। आकृति बदलती है, पर उपपत्ति का हर चरण सही बना रहता है।
- मान लीजिए ABC एक त्रिभुज है। दावा: त्रिभुज ABC की कोई भी दो भुजाएँ मिलकर तीसरी से बड़ी हैं; उदाहरण के लिए BA, AC मिलकर BC से बड़ी हैं। (शीर्षों को खींचकर देखिए।)
- BA को बिंदु D तक बढ़ाइए, और AD को CA के बराबर बनाइए।अभिगृहीत 2साध्य I.3अभिगृहीत 2: किसी सांत सरल रेखा को सीध में लगातार बढ़ाया जा सकता है।साध्य I.3: दो असमान सरल रेखाएँ दी हों, तो बड़ी में से छोटी के बराबर सरल रेखा काटना।
- DC मिलाइए।अभिगृहीत 1अभिगृहीत 1: किसी भी बिंदु से किसी भी बिंदु तक सरल रेखा खींची जा सकती है।
- चूँकि DA, AC के बराबर है, इसलिए कोण ADC कोण ACD के बराबर है।साध्य I.5साध्य I.5: समद्विबाहु त्रिभुज में आधार के कोण परस्पर बराबर होते हैं, और बराबर रेखाओं को आगे बढ़ाने पर आधार के नीचे के कोण भी परस्पर बराबर होते हैं।
- पर कोण BCD कोण ACD से बड़ा है; अतः कोण BCD कोण ADC से बड़ा है।स्वयंसिद्ध 5स्वयंसिद्ध 5: पूर्ण अपने भाग से बड़ा होता है।
- त्रिभुज DCB में कोण BCD कोण BDC से बड़ा है, और बड़े कोण के सामने बड़ी भुजा होती है; अतः DB, BC से बड़ी है।साध्य I.19साध्य I.19: किसी भी त्रिभुज में बड़े कोण के सामने बड़ी भुजा होती है।
- पर DB, BA और AC के योग के बराबर है; अतः BA, AC मिलकर BC से बड़ी हैं। इसी प्रकार AB, BC मिलकर CA से, और BC, CA मिलकर AB से बड़ी हैं।
यही सिद्ध करना था।