命题 I.20 · 定理
在任意三角形中，任意两边之和大于第三边。
红圈的点可以拖动，图形会随之改变，而证明的每一步仍然成立。
- 设 ABC 是三角形。断言：三角形 ABC 中任意两边之和大于第三边，例如 BA、AC 之和大于 BC。（拖动顶点试试。）
- 延长 BA 到点 D，使 AD 等于 CA。公设 2命题 I.3公设 2：一条有限直线可以继续延长。命题 I.3：已知两条不相等的线段，从较长的线段上截取一段等于较短的线段。
- 连接 DC。公设 1公设 1：由任意一点到另一任意一点可以作直线。
- 因为 DA 等于 AC，所以 ∠ADC 等于 ∠ACD。命题 I.5命题 I.5：等腰三角形的两底角相等；若延长两腰，则底边下面的两个角也相等。
- 而 ∠BCD 大于 ∠ACD，所以 ∠BCD 大于 ∠ADC。公理 5公理 5：整体大于部分。
- 在三角形 DCB 中，∠BCD 大于 ∠BDC，而大角所对的边较大，所以 DB 大于 BC。命题 I.19命题 I.19：在任意三角形中，大角对大边。
- 而 DB 等于 BA 与 AC 之和，所以 BA、AC 之和大于 BC。同理，AB、BC 之和大于 CA，BC、CA 之和大于 AB。
这就是所要证明的。