Elementos de Euclides Libro I

23 definiciones · 5 postulados · 5 nociones comunes · 48 proposiciones

Proposición I.20 · Teorema

En todo triángulo, dos lados tomados juntos de cualquier manera son mayores que el restante.

Arrastra los puntos marcados con un círculo rojo. La figura cambia y cada paso de la demostración sigue siendo válido.
  1. Sea ABC un triángulo. Se afirma que en el triángulo ABC dos lados cualesquiera juntos son mayores que el restante; por ejemplo BA, AC son mayores que BC. (Prueba a arrastrar los vértices.)
  2. Prolónguese BA hasta el punto D, y hágase AD igual a CA.
    Postulado 2Proposición I.3
    Postulado 2: Prolongar continuamente en línea recta una recta finita.
    Proposición I.3: Dadas dos rectas desiguales, quitar de la mayor una recta igual a la menor.
  3. Trácese DC.
    Postulado 1
    Postulado 1: Trazar una línea recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera.
  4. Como DA es igual a AC, el ángulo ADC es igual al ángulo ACD.
    Proposición I.5
    Proposición I.5: En los triángulos isósceles los ángulos de la base son iguales entre sí y, si se prolongan las rectas iguales, los ángulos situados bajo la base serán iguales entre sí.
  5. Pero el ángulo BCD es mayor que el ángulo ACD; por tanto el ángulo BCD es mayor que el ángulo ADC.
    Noción común 5
    Noción común 5: El todo es mayor que la parte.
  6. En el triángulo DCB el ángulo BCD es mayor que el ángulo BDC, y al ángulo mayor lo subtiende el lado mayor; por tanto DB es mayor que BC.
    Proposición I.19
    Proposición I.19: En todo triángulo el ángulo mayor es subtendido por el lado mayor.
  7. Pero DB es igual a BA, AC juntos; por tanto BA, AC son mayores que BC. Del mismo modo AB, BC son mayores que CA, y BC, CA son mayores que AB.