命題 I.20 · 定理
任意の三角形において、どの 2 辺の和も残りの 1 辺より大きい。
赤い丸の点はドラッグできます。図が変わっても、証明の各段階はそのまま成り立ちます。
- ABC を三角形とする。主張：三角形 ABC のどの 2 辺の和も残りの 1 辺より大きい。たとえば BA、AC の和は BC より大きい。（頂点をドラッグしてみてください。）
- BA を点 D まで延長し、AD を CA に等しくする。公準 2命題 I.3公準 2：有限な直線を連続して一直線に延長すること。命題 I.3：等しくない 2 直線が与えられたとき、大きい方から小さい方に等しい直線を切り取ること。
- DC を結ぶ。公準 1公準 1：任意の点から任意の点へ直線を引くこと。
- DA は AC に等しいから、角 ADC は角 ACD に等しい。命題 I.5命題 I.5：二等辺三角形の底角は互いに等しく、等しい 2 直線を延長すれば、底辺の下の角も互いに等しい。
- しかし角 BCD は角 ACD より大きい。よって角 BCD は角 ADC より大きい。公理 5公理 5：全体は部分より大きい。
- 三角形 DCB において角 BCD は角 BDC より大きく、大きい角には大きい辺が対する。よって DB は BC より大きい。命題 I.19命題 I.19：任意の三角形において、大きい角には大きい辺が対する。
- しかし DB は BA と AC の和に等しい。よって BA、AC の和は BC より大きい。同様に AB、BC の和は CA より、BC、CA の和は AB より大きい。
これが証明すべきことであった。