Proposition I.21 · Lehrsatz
Errichtet man über einer Dreiecksseite von ihren Endpunkten aus zwei Strecken, die sich innerhalb des Dreiecks treffen, so sind diese zusammen kleiner als die beiden übrigen Seiten des Dreiecks, umfassen aber einen größeren Winkel.
Ziehen Sie die rot umrandeten Punkte. Die Figur ändert sich, und jeder Schritt des Beweises bleibt gültig.
- Es sei ABC ein Dreieck, und über der Seite BC errichte man von ihren Endpunkten aus zwei Geraden BD, DC, die sich innerhalb des Dreiecks in D treffen. Behauptung: BD, DC sind zusammen kleiner als BA, AC, umfassen aber einen größeren Winkel: Der Winkel BDC ist größer als der Winkel BAC. (D lässt sich innerhalb des Dreiecks ziehen.)
- Man verlängere BD bis zum Schnitt mit AC in E.Postulat 2Postulat 2: dass man eine begrenzte gerade Linie zusammenhängend gerade verlängern kann,
- Im Dreieck ABE sind die zwei Seiten AB, AE größer als BE. Man füge beiderseits EC hinzu; also sind BA, AC größer als BE, EC.Proposition I.20Proposition I.20: In jedem Dreieck sind zwei Seiten, beliebig zusammengenommen, größer als die dritte.
- Ebenso sind im Dreieck CED die zwei Seiten CE, ED größer als CD. Man füge beiderseits DB hinzu; also sind CE, EB größer als CD, DB.Proposition I.20Proposition I.20: In jedem Dreieck sind zwei Seiten, beliebig zusammengenommen, größer als die dritte.
- Also sind BA, AC erst recht größer als BD, DC.
- Da ferner im Dreieck CDE der Außenwinkel BDC größer ist als der innen gegenüberliegende Winkel CED,Proposition I.16Proposition I.16: In jedem Dreieck ist, wenn man eine Seite verlängert, der Außenwinkel größer als jeder der beiden inneren gegenüberliegenden Winkel.
- und ebenso im Dreieck ABE der Außenwinkel CEB größer als der innen gegenüberliegende Winkel BAE, ist der Winkel BDC erst recht größer als der Winkel BAC.Proposition I.16Proposition I.16: In jedem Dreieck ist, wenn man eine Seite verlängert, der Außenwinkel größer als jeder der beiden inneren gegenüberliegenden Winkel.
Das war zu beweisen.