命题 I.21 · 定理
由三角形一边的两端向形内作两条相交线段，则它们的和小于三角形其余两边之和，但所夹的角较大。
红圈的点可以拖动，图形会随之改变，而证明的每一步仍然成立。
- 设 ABC 是三角形，从边 BC 的两端向三角形内作两条直线 BD、DC 相交于 D。断言：BD、DC 之和小于 BA、AC 之和，但 ∠BDC 大于 ∠BAC。（D 可以在三角形内拖动。）
- 延长 BD 交 AC 于 E。公设 2公设 2：一条有限直线可以继续延长。
- 在三角形 ABE 中，两边 AB、AE 之和大于 BE。两边各加上 EC，于是 BA、AC 之和大于 BE、EC 之和。命题 I.20命题 I.20：在任意三角形中，任意两边之和大于第三边。
- 又在三角形 CED 中，两边 CE、ED 之和大于 CD。两边各加上 DB，于是 CE、EB 之和大于 CD、DB 之和。命题 I.20命题 I.20：在任意三角形中，任意两边之和大于第三边。
- 所以 BA、AC 之和更大于 BD、DC 之和。
- 又因为三角形 CDE 的外角 ∠BDC 大于内对角 ∠CED，命题 I.16命题 I.16：在任意三角形中，若延长一边，则所成的外角大于任何一个内对角。
- 同理，三角形 ABE 的外角 ∠CEB 大于内对角 ∠BAE，所以 ∠BDC 更大于 ∠BAC。命题 I.16命题 I.16：在任意三角形中，若延长一边，则所成的外角大于任何一个内对角。
这就是所要证明的。