命題 I.21 · 定理
三角形の 1 辺の両端から内部で交わる 2 直線を作れば、それらの和は三角形の残りの 2 辺の和より小さいが、より大きい角をはさむ。
赤い丸の点はドラッグできます。図が変わっても、証明の各段階はそのまま成り立ちます。
- ABC を三角形とし、その辺 BC の両端から 2 直線 BD、DC を引いて三角形の内部の点 D で交わらせる。主張：BD、DC の和は BA、AC の和より小さいが、より大きい角をはさむ。すなわち角 BDC は角 BAC より大きい。（D は三角形の内部でドラッグできます。）
- BD を延長して AC と E で交わらせる。公準 2公準 2：有限な直線を連続して一直線に延長すること。
- 三角形 ABE において 2 辺 AB、AE の和は BE より大きい。それぞれに EC を加えると、BA、AC の和は BE、EC の和より大きい。命題 I.20命題 I.20：任意の三角形において、どの 2 辺の和も残りの 1 辺より大きい。
- また三角形 CED において 2 辺 CE、ED の和は CD より大きい。それぞれに DB を加えると、CE、EB の和は CD、DB の和より大きい。命題 I.20命題 I.20：任意の三角形において、どの 2 辺の和も残りの 1 辺より大きい。
- よって BA、AC の和は BD、DC の和よりなおさら大きい。
- また三角形 CDE の外角 BDC は内対角 CED より大きく、命題 I.16命題 I.16：任意の三角形において、1 辺を延長すれば、外角は内対角のいずれよりも大きい。
- 同様に三角形 ABE の外角 CEB は内対角 BAE より大きいから、角 BDC は角 BAC よりなおさら大きい。命題 I.16命題 I.16：任意の三角形において、1 辺を延長すれば、外角は内対角のいずれよりも大きい。
これが証明すべきことであった。