Les Éléments d'Euclide Livre I

23 définitions · 5 demandes · 5 notions communes · 48 propositions

Proposition I.21 · Théorème

Si, sur un des côtés d'un triangle, on construit à partir de ses extrémités deux droites qui se rencontrent à l'intérieur du triangle, ces droites seront plus petites que les deux côtés restants du triangle, mais comprendront un plus grand angle.

Déplacez les points entourés de rouge. La figure change, et chaque étape de la démonstration reste vraie.
  1. Soit ABC un triangle, et sur l'un de ses côtés, BC, par ses extrémités, construisons deux droites BD, DC se rencontrant à l'intérieur du triangle en D. Je dis que BD, DC sont plus petites que BA, AC, mais comprennent un angle plus grand : l'angle BDC est plus grand que l'angle BAC. (On peut déplacer D à l'intérieur du triangle.)
  2. Prolongeons BD jusqu'à sa rencontre avec AC en E.
    Demande 2
    Demande 2 : Prolonger indéfiniment, selon sa direction, une droite finie.
  3. Dans le triangle ABE, les deux côtés AB, AE sont plus grands que BE. Ajoutons à chacun EC ; donc BA, AC sont plus grands que BE, EC.
    Proposition I.20
    Proposition I.20 : Dans tout triangle, deux côtés pris ensemble de quelque manière que ce soit sont plus grands que le côté restant.
  4. De même, dans le triangle CED, les deux côtés CE, ED sont plus grands que CD. Ajoutons à chacun DB ; donc CE, EB sont plus grands que CD, DB.
    Proposition I.20
    Proposition I.20 : Dans tout triangle, deux côtés pris ensemble de quelque manière que ce soit sont plus grands que le côté restant.
  5. Donc BA, AC sont beaucoup plus grands que BD, DC.
  6. De plus, puisque dans le triangle CDE l'angle extérieur BDC est plus grand que l'angle intérieur et opposé CED,
    Proposition I.16
    Proposition I.16 : Dans tout triangle, si l'on prolonge un des côtés, l'angle extérieur est plus grand que chacun des angles intérieurs et opposés.
  7. et que de même dans le triangle ABE l'angle extérieur CEB est plus grand que l'angle intérieur et opposé BAE, l'angle BDC est beaucoup plus grand que l'angle BAC.
    Proposition I.16
    Proposition I.16 : Dans tout triangle, si l'on prolonge un des côtés, l'angle extérieur est plus grand que chacun des angles intérieurs et opposés.