Предложение I.21 · Теорема
Если на одной из сторон треугольника из её концов построены две прямые, встречающиеся внутри треугольника, то построенные прямые будут меньше остальных двух сторон треугольника, но заключат больший угол.
Перетаскивайте точки, обведённые красным. Чертёж меняется, а каждый шаг доказательства остаётся верным.
- Пусть ABC — треугольник, и на одной из его сторон, BC, от её концов построены две прямые BD, DC, встречающиеся внутри треугольника в точке D. Утверждается, что BD, DC вместе меньше BA, AC, но заключают больший угол: угол BDC больше угла BAC. (Точку D можно перетаскивать внутри треугольника.)
- Продолжим BD до встречи с AC в точке E.Постулат 2Постулат 2: И что ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
- В треугольнике ABE две стороны AB, AE больше BE. Прибавим к каждому EC; значит, BA, AC больше BE, EC.Предложение I.20Предложение I.20: Во всяком треугольнике две стороны, взятые вместе как угодно, больше оставшейся.
- Далее, в треугольнике CED две стороны CE, ED больше CD. Прибавим к каждому DB; значит, CE, EB больше CD, DB.Предложение I.20Предложение I.20: Во всяком треугольнике две стороны, взятые вместе как угодно, больше оставшейся.
- Тем более BA, AC больше BD, DC.
- Далее, так как в треугольнике CDE внешний угол BDC больше внутреннего противолежащего угла CED,Предложение I.16Предложение I.16: Во всяком треугольнике при продолжении одной из сторон внешний угол больше каждого из внутренних, ему противолежащих.
- а также в треугольнике ABE внешний угол CEB больше внутреннего противолежащего угла BAE, то угол BDC тем более больше угла BAC.Предложение I.16Предложение I.16: Во всяком треугольнике при продолжении одной из сторон внешний угол больше каждого из внутренних, ему противолежащих.
Что и требовалось доказать.