Proposición I.21 · Teorema
Si sobre uno de los lados de un triángulo se construyen desde sus extremos dos rectas que se encuentran dentro del triángulo, las rectas así construidas serán menores que los dos lados restantes del triángulo, pero comprenderán un ángulo mayor.
Arrastra los puntos marcados con un círculo rojo. La figura cambia y cada paso de la demostración sigue siendo válido.
- Sea ABC un triángulo, y sobre uno de sus lados, BC, desde sus extremos, constrúyanse dos rectas BD, DC que se encuentren dentro del triángulo en D. Se afirma que BD, DC son menores que BA, AC, pero comprenden un ángulo mayor: el ángulo BDC es mayor que el ángulo BAC. (D se puede arrastrar dentro del triángulo.)
- Prolónguese BD hasta encontrar AC en E.Postulado 2Postulado 2: Prolongar continuamente en línea recta una recta finita.
- En el triángulo ABE los dos lados AB, AE son mayores que BE. Añádase a cada uno EC; por tanto BA, AC son mayores que BE, EC.Proposición I.20Proposición I.20: En todo triángulo, dos lados tomados juntos de cualquier manera son mayores que el restante.
- De nuevo, en el triángulo CED los dos lados CE, ED son mayores que CD. Añádase a cada uno DB; por tanto CE, EB son mayores que CD, DB.Proposición I.20Proposición I.20: En todo triángulo, dos lados tomados juntos de cualquier manera son mayores que el restante.
- Por tanto BA, AC son mucho mayores que BD, DC.
- Además, como en el triángulo CDE el ángulo exterior BDC es mayor que el ángulo interior y opuesto CED,Proposición I.16Proposición I.16: En todo triángulo, si se prolonga uno de los lados, el ángulo externo es mayor que cada uno de los ángulos internos y opuestos.
- y del mismo modo en el triángulo ABE el ángulo exterior CEB es mayor que el ángulo interior y opuesto BAE, el ángulo BDC es mucho mayor que el ángulo BAC.Proposición I.16Proposición I.16: En todo triángulo, si se prolonga uno de los lados, el ángulo externo es mayor que cada uno de los ángulos internos y opuestos.
Que es lo que había que demostrar.