Euklids Elemente Buch I

23 Definitionen · 5 Postulate · 5 Axiome · 48 Propositionen

Proposition I.22 · Aufgabe

Aus drei Strecken, die drei gegebenen Strecken gleich sind, ein Dreieck zu errichten; dazu müssen zwei, beliebig zusammengenommen, größer als die dritte sein.

Ziehen Sie die rot umrandeten Punkte. Die Figur ändert sich, und jeder Schritt des Beweises bleibt gültig.
  1. Die drei gegebenen Geraden seien A, B, C, von denen je zwei zusammen größer sind als die dritte. Man soll aus drei Geraden, die A, B, C gleich sind, ein Dreieck errichten. (Ziehen Sie die rechten Enden der Strecken, um ihre Längen zu ändern.)
  2. Man lege eine Gerade DE hin, in D begrenzt, in Richtung E unbegrenzt.
  3. Auf DE mache man DF gleich A, FG gleich B und GH gleich C.
    Proposition I.3
    Proposition I.3: Wenn zwei ungleiche Strecken gegeben sind, auf der größeren eine der kleineren gleiche Strecke abzutragen.
  4. Mit dem Mittelpunkt F und dem Abstand FD zeichne man den Kreis DKL.
    Postulat 3
    Postulat 3: dass man mit jedem Mittelpunkt und Abstand den Kreis zeichnen kann,
  5. Mit dem Mittelpunkt G und dem Abstand GH zeichne man den Kreis KLH.
    Postulat 3
    Postulat 3: dass man mit jedem Mittelpunkt und Abstand den Kreis zeichnen kann,
  6. Die Kreise schneiden sich in K; man ziehe KF, KG. Behauptung: Das Dreieck KFG ist aus drei Geraden errichtet, die A, B, C gleich sind.
    Postulat 1
    Postulat 1: Gefordert soll sein, dass man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen kann,
  7. Da der Punkt F Mittelpunkt des Kreises DKL ist, ist FD gleich FK. FD ist aber gleich A; also ist auch KF gleich A.
    Definition 15Axiom 1
    Definition 15: Ein Kreis ist eine ebene, von einer einzigen Linie umfasste Figur, so dass alle von einem innerhalb der Figur gelegenen Punkt bis zur Linie laufenden Strecken einander gleich sind.
    Axiom 1: Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich.
  8. Ebenso ist, da der Punkt G Mittelpunkt des Kreises LKH ist, GH gleich GK. GH ist aber gleich C; also ist auch KG gleich C.
    Definition 15Axiom 1
    Definition 15: Ein Kreis ist eine ebene, von einer einzigen Linie umfasste Figur, so dass alle von einem innerhalb der Figur gelegenen Punkt bis zur Linie laufenden Strecken einander gleich sind.
    Axiom 1: Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich.
  9. Und FG ist gleich B. Also sind die drei Geraden KF, FG, GK den Geraden A, B, C gleich, und das Dreieck KFG ist errichtet.