यूक्लिड के तत्व पुस्तक I

1. मान लीजिए A, B, C तीन दी गई सरल रेखाएँ हैं, जिनमें से कोई भी दो मिलकर तीसरी से बड़ी हैं। A, B, C के बराबर तीन सरल रेखाओं से एक त्रिभुज बनाना है। (रेखाओं के दाएँ सिरों को खींचकर उनकी लंबाई बदलिए।)
2. एक सरल रेखा DE लीजिए, जो D पर सीमित है पर E की दिशा में असीमित है।
3. DE पर DF को A के बराबर, FG को B के बराबर, और GH को C के बराबर बनाइए।

   साध्य I.3

   साध्य I.3: दो असमान सरल रेखाएँ दी हों, तो बड़ी में से छोटी के बराबर सरल रेखा काटना।
4. केंद्र F और दूरी FD से वृत्त DKL खींचिए।

   अभिगृहीत 3

   अभिगृहीत 3: किसी भी केंद्र और किसी भी दूरी से वृत्त खींचा जा सकता है।
5. केंद्र G और दूरी GH से वृत्त KLH खींचिए।

   अभिगृहीत 3

   अभिगृहीत 3: किसी भी केंद्र और किसी भी दूरी से वृत्त खींचा जा सकता है।
6. वृत्त K पर मिलते हैं; KF, KG मिलाइए। दावा: त्रिभुज KFG, A, B, C के बराबर तीन सरल रेखाओं से बना है।

   अभिगृहीत 1

   अभिगृहीत 1: किसी भी बिंदु से किसी भी बिंदु तक सरल रेखा खींची जा सकती है।
7. चूँकि बिंदु F वृत्त DKL का केंद्र है, FD, FK के बराबर है। पर FD, A के बराबर है; अतः KF भी A के बराबर है।

   परिभाषा 15स्वयंसिद्ध 1

   परिभाषा 15: वृत्त एक ही रेखा से घिरी हुई ऐसी समतल आकृति है कि आकृति के भीतर के एक बिंदु से उस रेखा तक खींची गई सभी सरल रेखाएँ परस्पर बराबर हों।

   स्वयंसिद्ध 1: जो वस्तुएँ एक ही वस्तु के बराबर हों, वे परस्पर भी बराबर होती हैं।
8. फिर, चूँकि बिंदु G वृत्त LKH का केंद्र है, GH, GK के बराबर है। पर GH, C के बराबर है; अतः KG भी C के बराबर है।

   परिभाषा 15स्वयंसिद्ध 1

   परिभाषा 15: वृत्त एक ही रेखा से घिरी हुई ऐसी समतल आकृति है कि आकृति के भीतर के एक बिंदु से उस रेखा तक खींची गई सभी सरल रेखाएँ परस्पर बराबर हों।

   स्वयंसिद्ध 1: जो वस्तुएँ एक ही वस्तु के बराबर हों, वे परस्पर भी बराबर होती हैं।
9. और FG, B के बराबर है। अतः तीनों सरल रेखाएँ KF, FG, GK क्रमशः A, B, C के बराबर हैं, और त्रिभुज KFG बन गया।

यही रचना करनी थी।