Les Éléments d'Euclide Livre I

23 définitions · 5 demandes · 5 notions communes · 48 propositions

Proposition I.22 · Problème

Avec trois droites égales à trois droites données, construire un triangle ; il faut pour cela que deux de ces droites, prises ensemble de quelque manière que ce soit, soient plus grandes que la troisième.

Déplacez les points entourés de rouge. La figure change, et chaque étape de la démonstration reste vraie.
  1. Soient A, B, C les trois droites données, dont deux quelconques, prises ensemble, sont plus grandes que la troisième. Il faut construire un triangle avec trois droites égales à A, B, C. (Déplacez les extrémités droites des segments pour changer leurs longueurs.)
  2. Prenons une droite DE, limitée en D mais illimitée du côté de E.
  3. Sur DE, faisons DF égale à A, FG égale à B, et GH égale à C.
    Proposition I.3
    Proposition I.3 : Deux droites inégales étant données, retrancher de la plus grande une droite égale à la plus petite.
  4. Du centre F et de l'intervalle FD, décrivons le cercle DKL.
    Demande 3
    Demande 3 : D'un point quelconque et avec un intervalle quelconque, décrire un cercle.
  5. Du centre G et de l'intervalle GH, décrivons le cercle KLH.
    Demande 3
    Demande 3 : D'un point quelconque et avec un intervalle quelconque, décrire un cercle.
  6. Les cercles se coupent en K ; menons KF, KG. Je dis que le triangle KFG est construit avec trois droites égales à A, B, C.
    Demande 1
    Demande 1 : Mener une droite d'un point quelconque à un point quelconque.
  7. Puisque le point F est le centre du cercle DKL, FD est égale à FK. Mais FD est égale à A ; donc KF est aussi égale à A.
    Définition 15Notion commune 1
    Définition 15 : Le cercle est une figure plane comprise par une seule ligne, telle que toutes les droites menées vers elle d'un des points placés à l'intérieur de la figure sont égales entre elles.
    Notion commune 1 : Les choses égales à une même chose sont égales entre elles.
  8. De même, puisque le point G est le centre du cercle LKH, GH est égale à GK. Mais GH est égale à C ; donc KG est aussi égale à C.
    Définition 15Notion commune 1
    Définition 15 : Le cercle est une figure plane comprise par une seule ligne, telle que toutes les droites menées vers elle d'un des points placés à l'intérieur de la figure sont égales entre elles.
    Notion commune 1 : Les choses égales à une même chose sont égales entre elles.
  9. Et FG est égale à B. Donc les trois droites KF, FG, GK sont égales à A, B, C, et le triangle KFG est construit.