Предложение I.22 · Задача
Из трёх прямых, которые равны трём данным прямым, составить треугольник; при этом нужно, чтобы две прямые, взятые вместе как угодно, были больше оставшейся.
Перетаскивайте точки, обведённые красным. Чертёж меняется, а каждый шаг доказательства остаётся верным.
- Пусть A, B, C — три данные прямые, из которых любые две вместе больше оставшейся. Требуется построить треугольник из трёх прямых, равных A, B, C. (Перетаскивайте правые концы отрезков, чтобы менять их длины.)
- Возьмём прямую DE, ограниченную в D и неограниченную в сторону E.
- Отложим на DE отрезок DF, равный A, FG, равный B, и GH, равный C.Предложение I.3Предложение I.3: Даны две неравные прямые; отнять от большей прямую, равную меньшей.
- Из центра F раствором FD опишем круг DKL.Постулат 3Постулат 3: И что из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг.
- Из центра G раствором GH опишем круг KLH.Постулат 3Постулат 3: И что из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг.
- Круги пересекаются в точке K; проведём KF, KG. Утверждается, что треугольник KFG построен из трёх прямых, равных A, B, C.Постулат 1Постулат 1: Допустим, что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.
- Так как точка F — центр круга DKL, FD равна FK. Но FD равна A; значит, и KF равна A.Определение 15Аксиома 1Определение 15: Круг есть плоская фигура, содержащаяся внутри одной линии, на которую все из одной точки внутри фигуры падающие прямые равны между собой.Аксиома 1: Равные одному и тому же равны и между собой.
- Далее, так как точка G — центр круга LKH, GH равна GK. Но GH равна C; значит, и KG равна C.Определение 15Аксиома 1Определение 15: Круг есть плоская фигура, содержащаяся внутри одной линии, на которую все из одной точки внутри фигуры падающие прямые равны между собой.Аксиома 1: Равные одному и тому же равны и между собой.
- И FG равна B. Значит, три прямые KF, FG, GK равны A, B, C, и треугольник KFG построен.
Что и требовалось сделать.