Euklids Elemente Buch I

23 Definitionen · 5 Postulate · 5 Axiome · 48 Propositionen

Proposition I.23 · Aufgabe

An einer gegebenen Geraden in einem Punkt auf ihr einen einem gegebenen geradlinigen Winkel gleichen geradlinigen Winkel anzutragen.

Ziehen Sie die rot umrandeten Punkte. Die Figur ändert sich, und jeder Schritt des Beweises bleibt gültig.
  1. Die gegebene Gerade sei AB, der Punkt auf ihr A und der gegebene geradlinige Winkel der Winkel DCE. Man soll an der Geraden AB im Punkt A einen Winkel gleich dem Winkel DCE errichten. (Alle Punkte lassen sich ziehen.)
  2. Auf den Geraden CD, CE nehme man beliebig die Punkte D, E an und ziehe DE.
    Postulat 1
    Postulat 1: Gefordert soll sein, dass man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen kann,
  3. Aus drei Geraden, die CD, DE, CE gleich sind, errichte man das Dreieck AFG, so dass CD gleich AF, CE gleich AG und DE gleich FG ist.
    Proposition I.22
    Proposition I.22: Aus drei Strecken, die drei gegebenen Strecken gleich sind, ein Dreieck zu errichten; dazu müssen zwei, beliebig zusammengenommen, größer als die dritte sein.
  4. Da die zwei Seiten DC, CE den zwei Seiten FA, AG gleich sind und die Grundlinie DE gleich der Grundlinie FG, ist der Winkel DCE gleich dem Winkel FAG. Also ist an der Geraden AB im Punkt A der Winkel FAG gleich dem gegebenen geradlinigen Winkel DCE errichtet.
    Proposition I.8
    Proposition I.8: Wenn in zwei Dreiecken zwei Seiten zwei Seiten entsprechend gleich sind und auch die Grundlinie der Grundlinie gleich ist, dann sind auch die von den gleichen Strecken umfassten Winkel einander gleich.