أصول إقليدس المقالة الأولى

1. ليكن ABC، DEF مثلثين، الضلعان AB، AC منهما مساويان للضلعين DE، DF كلٌّ لنظيره، أي AB لـ DE وAC لـ DF، والزاوية عند A أعظم من الزاوية عند D. فنقول: إن القاعدة BC أيضًا أعظم من القاعدة EF. (يمكن سحب A، B، C، D.)
2. نعمل على الخط DE عند النقطة D الزاوية EDG مساوية للزاوية BAC، ونجعل DG مساويًا لأيٍّ من الخطين AC، DF.

   القضية I.23القضية I.3

   القضية I.23: أن نعمل على خط مستقيم معلوم، عند نقطة معلومة عليه، زاوية مستقيمة الخطين مساوية لزاوية مستقيمة الخطين معلومة.

   القضية I.3: إذا عُلم خطان مستقيمان غير متساويين، أن نفصل من الأعظم خطًا مساويًا للأصغر.
3. ونصل EG، FG.

   المصادرة 1

   المصادرة 1: أن نصل بين أي نقطتين بخط مستقيم.
4. لأن AB مساوٍ لـ DE، وAC لـ DG، والزاوية BAC مساوية للزاوية EDG، فالقاعدة BC مساوية للقاعدة EG.

   القضية I.4

   القضية I.4: إذا كان ضلعان من مثلث مساويين لضلعين من مثلث آخر كلٌّ لنظيره، وكانت الزاويتان اللتان يحيط بهما الضلعان المتساويان متساويتين، فإن القاعدة تساوي القاعدة، والمثلث يساوي المثلث، والزاويتين الباقيتين تساويان الزاويتين الباقيتين كلٌّ لنظيرتها.
5. وأيضًا لأن DF مساوٍ لـ DG، فالزاوية DGF مساوية للزاوية DFG.

   القضية I.5

   القضية I.5: زاويتا القاعدة في المثلث المتساوي الساقين متساويتان، وإذا أُخرج الضلعان المتساويان كانت الزاويتان تحت القاعدة متساويتين.
6. فالزاوية DFG أعظم من الزاوية EGF، والزاوية EFG أعظم كثيرًا من الزاوية EGF.

   العلم المتعارف 5

   العلم المتعارف 5: الكل أعظم من الجزء.
7. ففي المثلث EFG الزاوية EFG أعظم من الزاوية EGF، والزاوية العظمى يوترها الضلع الأعظم؛ فـ EG أعظم من EF. لكن EG مساوٍ لـ BC؛ فـ BC أيضًا أعظم من EF.

   القضية I.19

   القضية I.19: في كل مثلث، الزاوية العظمى يقابلها الضلع الأعظم.

وذلك ما أردنا أن نبيّن.