Les Éléments d'Euclide Livre I

23 définitions · 5 demandes · 5 notions communes · 48 propositions

Proposition I.24 · Théorème

Si deux triangles ont deux côtés égaux à deux côtés, chacun à chacun, mais que l'un des angles compris par les droites égales soit plus grand que l'autre, ils auront aussi la base plus grande que la base.

Déplacez les points entourés de rouge. La figure change, et chaque étape de la démonstration reste vraie.
  1. Soient ABC, DEF deux triangles ayant les deux côtés AB, AC égaux respectivement aux deux côtés DE, DF, à savoir AB à DE et AC à DF, et que l'angle en A soit plus grand que l'angle en D. Je dis que la base BC est aussi plus grande que la base EF. (On peut déplacer A, B, C, D.)
  2. Sur la droite DE, au point D, construisons l'angle EDG égal à l'angle BAC, et faisons DG égale à l'une ou l'autre des droites AC, DF.
    Proposition I.23Proposition I.3
    Proposition I.23 : Sur une droite donnée et en un de ses points, construire un angle rectiligne égal à un angle rectiligne donné.
    Proposition I.3 : Deux droites inégales étant données, retrancher de la plus grande une droite égale à la plus petite.
  3. Menons EG, FG.
    Demande 1
    Demande 1 : Mener une droite d'un point quelconque à un point quelconque.
  4. Puisque AB est égale à DE et AC à DG, et que l'angle BAC est égal à l'angle EDG, la base BC est égale à la base EG.
    Proposition I.4
    Proposition I.4 : Si deux triangles ont deux côtés égaux à deux côtés, chacun à chacun, et les angles compris par les droites égales égaux, ils auront aussi la base égale à la base, le triangle sera égal au triangle, et les angles restants seront égaux aux angles restants, chacun à chacun.
  5. De plus, puisque DF est égale à DG, l'angle DGF est égal à l'angle DFG.
    Proposition I.5
    Proposition I.5 : Dans les triangles isocèles, les angles à la base sont égaux entre eux et, si l'on prolonge les droites égales, les angles sous la base seront égaux entre eux.
  6. Donc l'angle DFG est plus grand que l'angle EGF, et l'angle EFG est beaucoup plus grand que l'angle EGF.
    Notion commune 5
    Notion commune 5 : Le tout est plus grand que la partie.
  7. Dans le triangle EFG, l'angle EFG est plus grand que l'angle EGF, et le plus grand angle est sous-tendu par le plus grand côté ; donc EG est plus grande que EF. Mais EG est égale à BC ; donc BC est aussi plus grande que EF.
    Proposition I.19
    Proposition I.19 : Dans tout triangle, le plus grand angle est sous-tendu par le plus grand côté.