Euklids Elemente Buch I

23 Definitionen · 5 Postulate · 5 Axiome · 48 Propositionen

Proposition I.24 · Lehrsatz

Wenn in zwei Dreiecken zwei Seiten zwei Seiten entsprechend gleich sind, der eine von den gleichen Strecken umfasste Winkel aber größer ist als der andere, dann ist auch die Grundlinie größer als die Grundlinie.

Ziehen Sie die rot umrandeten Punkte. Die Figur ändert sich, und jeder Schritt des Beweises bleibt gültig.
  1. In den zwei Dreiecken ABC, DEF seien die zwei Seiten AB, AC den zwei Seiten DE, DF gleich, nämlich AB gleich DE und AC gleich DF, und der Winkel bei A sei größer als der Winkel bei D. Behauptung: Auch die Grundlinie BC ist größer als die Grundlinie EF. (A, B, C, D lassen sich ziehen.)
  2. An der Geraden DE errichte man im Punkt D den Winkel EDG gleich dem Winkel BAC und mache DG gleich einer der beiden Geraden AC, DF.
    Proposition I.23Proposition I.3
    Proposition I.23: An einer gegebenen Geraden in einem Punkt auf ihr einen einem gegebenen geradlinigen Winkel gleichen geradlinigen Winkel anzutragen.
    Proposition I.3: Wenn zwei ungleiche Strecken gegeben sind, auf der größeren eine der kleineren gleiche Strecke abzutragen.
  3. Man ziehe EG, FG.
    Postulat 1
    Postulat 1: Gefordert soll sein, dass man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen kann,
  4. Da AB gleich DE und AC gleich DG ist und der Winkel BAC gleich dem Winkel EDG, ist die Grundlinie BC gleich der Grundlinie EG.
    Proposition I.4
    Proposition I.4: Wenn in zwei Dreiecken zwei Seiten zwei Seiten entsprechend gleich sind und die von den gleichen Strecken umfassten Winkel einander gleich sind, dann ist auch die Grundlinie der Grundlinie gleich, das Dreieck dem Dreieck, und die übrigen Winkel sind den übrigen Winkeln entsprechend gleich.
  5. Ferner ist, da DF gleich DG ist, der Winkel DGF gleich dem Winkel DFG.
    Proposition I.5
    Proposition I.5: Im gleichschenkligen Dreieck sind die Winkel an der Grundlinie einander gleich, und verlängert man die gleichen Strecken, so sind auch die Winkel unter der Grundlinie einander gleich.
  6. Also ist der Winkel DFG größer als der Winkel EGF und der Winkel EFG erst recht größer als der Winkel EGF.
    Axiom 5
    Axiom 5: Das Ganze ist größer als der Teil.
  7. Im Dreieck EFG ist der Winkel EFG größer als der Winkel EGF, und dem größeren Winkel liegt die größere Seite gegenüber; also ist EG größer als EF. EG ist aber gleich BC; also ist auch BC größer als EF.
    Proposition I.19
    Proposition I.19: In jedem Dreieck liegt dem größeren Winkel die größere Seite gegenüber.