Elementos de Euclides Libro I

23 definiciones · 5 postulados · 5 nociones comunes · 48 proposiciones

Proposición I.24 · Teorema

Si dos triángulos tienen dos lados iguales respectivamente a dos lados, pero uno de los ángulos comprendidos por las rectas iguales es mayor que el otro, tendrán también la base mayor que la base.

Arrastra los puntos marcados con un círculo rojo. La figura cambia y cada paso de la demostración sigue siendo válido.
  1. Sean ABC, DEF dos triángulos que tienen los dos lados AB, AC iguales respectivamente a los dos lados DE, DF, a saber AB a DE y AC a DF, y sea el ángulo en A mayor que el ángulo en D. Se afirma que la base BC es también mayor que la base EF. (Se pueden arrastrar A, B, C, D.)
  2. Sobre la recta DE, en el punto D, constrúyase el ángulo EDG igual al ángulo BAC, y hágase DG igual a cualquiera de las dos rectas AC, DF.
    Proposición I.23Proposición I.3
    Proposición I.23: Construir sobre una recta dada, y en un punto de ella, un ángulo rectilíneo igual a un ángulo rectilíneo dado.
    Proposición I.3: Dadas dos rectas desiguales, quitar de la mayor una recta igual a la menor.
  3. Trácense EG, FG.
    Postulado 1
    Postulado 1: Trazar una línea recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera.
  4. Como AB es igual a DE y AC a DG, y el ángulo BAC es igual al ángulo EDG, la base BC es igual a la base EG.
    Proposición I.4
    Proposición I.4: Si dos triángulos tienen dos lados iguales respectivamente a dos lados y tienen iguales los ángulos comprendidos por las rectas iguales, tendrán también la base igual a la base, el triángulo será igual al triángulo y los ángulos restantes serán iguales a los ángulos restantes.
  5. De nuevo, como DF es igual a DG, el ángulo DGF es igual al ángulo DFG.
    Proposición I.5
    Proposición I.5: En los triángulos isósceles los ángulos de la base son iguales entre sí y, si se prolongan las rectas iguales, los ángulos situados bajo la base serán iguales entre sí.
  6. Por tanto el ángulo DFG es mayor que el ángulo EGF, y el ángulo EFG es mucho mayor que el ángulo EGF.
    Noción común 5
    Noción común 5: El todo es mayor que la parte.
  7. En el triángulo EFG el ángulo EFG es mayor que el ángulo EGF, y al ángulo mayor lo subtiende el lado mayor; por tanto EG es mayor que EF. Pero EG es igual a BC; por tanto BC es también mayor que EF.
    Proposición I.19
    Proposición I.19: En todo triángulo el ángulo mayor es subtendido por el lado mayor.