Начала Евклида Книга I

1. Пусть ABC, DEF — два треугольника, у которых две стороны AB, AC соответственно равны двум сторонам DE, DF, а именно AB равна DE и AC равна DF, а угол при A больше угла при D. Утверждается, что и основание BC больше основания EF. (Можно перетаскивать A, B, C, D.)
2. На прямой DE при точке D построим угол EDG, равный углу BAC, и отложим DG, равную любой из двух прямых AC, DF.

   Предложение I.23Предложение I.3

   Предложение I.23: На данной прямой и в данной на ней точке построить прямолинейный угол, равный данному прямолинейному углу.

   Предложение I.3: Даны две неравные прямые; отнять от большей прямую, равную меньшей.
3. Проведём EG, FG.

   Постулат 1

   Постулат 1: Допустим, что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.
4. Так как AB равна DE, а AC равна DG, и угол BAC равен углу EDG, то основание BC равно основанию EG.

   Предложение I.4

   Предложение I.4: Если два треугольника имеют две стороны, равные соответственно двум сторонам, и угол, заключённый между равными прямыми, равен углу, то они будут иметь и основание, равное основанию, треугольник будет равен треугольнику, и остальные углы будут равны остальным углам соответственно.
5. Далее, так как DF равна DG, угол DGF равен углу DFG.

   Предложение I.5

   Предложение I.5: У равнобедренных треугольников углы при основании равны между собой, и по продолжении равных прямых углы под основанием будут равны между собой.
6. Значит, угол DFG больше угла EGF, и тем более угол EFG больше угла EGF.

   Аксиома 5

   Аксиома 5: И целое больше части.
7. В треугольнике EFG угол EFG больше угла EGF, а против большего угла лежит большая сторона; значит, EG больше EF. Но EG равна BC; значит, и BC больше EF.

   Предложение I.19

   Предложение I.19: Во всяком треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Что и требовалось доказать.