Euklids Elemente Buch I

23 Definitionen · 5 Postulate · 5 Axiome · 48 Propositionen

Proposition I.25 · Lehrsatz

Wenn in zwei Dreiecken zwei Seiten zwei Seiten entsprechend gleich sind, die Grundlinie aber größer ist als die Grundlinie, dann ist auch der eine von den gleichen Strecken umfasste Winkel größer als der andere.

Ziehen Sie die rot umrandeten Punkte. Die Figur ändert sich, und jeder Schritt des Beweises bleibt gültig.
  1. In den zwei Dreiecken ABC, DEF seien die zwei Seiten AB, AC den zwei Seiten DE, DF gleich, und die Grundlinie BC sei größer als die Grundlinie EF. Behauptung: Auch der Winkel BAC ist größer als der Winkel EDF. (A, B, C, D lassen sich ziehen.)
  2. Wäre es nicht so, so wäre der Winkel BAC entweder gleich dem Winkel EDF oder kleiner.
  3. Gleich dem Winkel EDF ist der Winkel BAC nicht, denn sonst wäre die Grundlinie BC gleich der Grundlinie EF; das ist sie aber nicht.
    Proposition I.4
    Proposition I.4: Wenn in zwei Dreiecken zwei Seiten zwei Seiten entsprechend gleich sind und die von den gleichen Strecken umfassten Winkel einander gleich sind, dann ist auch die Grundlinie der Grundlinie gleich, das Dreieck dem Dreieck, und die übrigen Winkel sind den übrigen Winkeln entsprechend gleich.
  4. Kleiner als der Winkel EDF ist der Winkel BAC auch nicht, denn sonst wäre die Grundlinie BC kleiner als die Grundlinie EF; das ist sie aber nicht.
    Proposition I.24
    Proposition I.24: Wenn in zwei Dreiecken zwei Seiten zwei Seiten entsprechend gleich sind, der eine von den gleichen Strecken umfasste Winkel aber größer ist als der andere, dann ist auch die Grundlinie größer als die Grundlinie.
  5. Also ist der Winkel BAC größer als der Winkel EDF.