Les Éléments d'Euclide Livre I

23 définitions · 5 demandes · 5 notions communes · 48 propositions

Proposition I.25 · Théorème

Si deux triangles ont deux côtés égaux à deux côtés, chacun à chacun, mais la base plus grande que la base, ils auront aussi l'un des angles compris par les droites égales plus grand que l'autre.

Déplacez les points entourés de rouge. La figure change, et chaque étape de la démonstration reste vraie.
  1. Soient ABC, DEF deux triangles ayant les deux côtés AB, AC égaux respectivement aux deux côtés DE, DF, et que la base BC soit plus grande que la base EF. Je dis que l'angle BAC est aussi plus grand que l'angle EDF. (On peut déplacer A, B, C, D.)
  2. Sinon, l'angle BAC est ou égal à l'angle EDF, ou plus petit.
  3. Or l'angle BAC n'est pas égal à l'angle EDF, car alors la base BC serait égale à la base EF ; ce qui n'est pas.
    Proposition I.4
    Proposition I.4 : Si deux triangles ont deux côtés égaux à deux côtés, chacun à chacun, et les angles compris par les droites égales égaux, ils auront aussi la base égale à la base, le triangle sera égal au triangle, et les angles restants seront égaux aux angles restants, chacun à chacun.
  4. L'angle BAC n'est pas non plus plus petit que l'angle EDF, car alors la base BC serait plus petite que la base EF ; ce qui n'est pas.
    Proposition I.24
    Proposition I.24 : Si deux triangles ont deux côtés égaux à deux côtés, chacun à chacun, mais que l'un des angles compris par les droites égales soit plus grand que l'autre, ils auront aussi la base plus grande que la base.
  5. Donc l'angle BAC est plus grand que l'angle EDF.