أصول إقليدس المقالة الأولى

1. ليكن ABC، DEF مثلثين، الزاويتان ABC، BCA منهما مساويتان للزاويتين DEF، EFD كلٌّ لنظيرتها، وضلع مساوٍ لضلع. فليكن أولًا الضلعان المتساويان هما المجاوران للزاويتين المتساويتين: BC مساوٍ لـ EF. فنقول: إن الضلعين الباقيين والزاوية الباقية متساوية أيضًا. (يمكن سحب A، B، C، D.)
2. فإن لم يكن AB مساويًا لـ DE فأحدهما أعظم. ليكن AB أعظم؛ ونجعل BG مساويًا لـ DE، ونصل GC. (رُسمت G حيث يضعها هذا الفرض.)

   القضية I.3المصادرة 1

   القضية I.3: إذا عُلم خطان مستقيمان غير متساويين، أن نفصل من الأعظم خطًا مساويًا للأصغر.

   المصادرة 1: أن نصل بين أي نقطتين بخط مستقيم.
3. لأن GB مساوٍ لـ DE، وBC لـ EF، والزاوية GBC مساوية للزاوية DEF، فالمثلث GBC مساوٍ للمثلث DEF، والزاوية GCB مساوية للزاوية DFE.

   القضية I.4

   القضية I.4: إذا كان ضلعان من مثلث مساويين لضلعين من مثلث آخر كلٌّ لنظيره، وكانت الزاويتان اللتان يحيط بهما الضلعان المتساويان متساويتين، فإن القاعدة تساوي القاعدة، والمثلث يساوي المثلث، والزاويتين الباقيتين تساويان الزاويتين الباقيتين كلٌّ لنظيرتها.
4. لكن الزاوية DFE مساوية بالفرض للزاوية BCA؛ فالزاوية BCG مساوية للزاوية BCA، الصغرى للعظمى، وهذا محال. فـ AB مساوٍ لـ DE.

   العلم المتعارف 1

   العلم المتعارف 1: الأشياء المساوية لشيء واحد متساوية.
5. فالضلعان AB، BC مساويان للضلعين DE، EF، والزاوية ABC مساوية للزاوية DEF؛ فـ AC مساوٍ لـ DF، والزاوية BAC للزاوية EDF.

   القضية I.4

   القضية I.4: إذا كان ضلعان من مثلث مساويين لضلعين من مثلث آخر كلٌّ لنظيره، وكانت الزاويتان اللتان يحيط بهما الضلعان المتساويان متساويتين، فإن القاعدة تساوي القاعدة، والمثلث يساوي المثلث، والزاويتين الباقيتين تساويان الزاويتين الباقيتين كلٌّ لنظيرتها.
6. ثم ليكن الضلعان المتساويان هما الموتران للزاويتين المتساويتين: AB مساوٍ لـ DE. فإن لم يكن BC مساويًا لـ EF فليكن BC أعظم؛ ونجعل BH مساويًا لـ EF، ونصل AH. (رُسمت H أيضًا بحسب الفرض.)

   القضية I.3المصادرة 1

   القضية I.3: إذا عُلم خطان مستقيمان غير متساويين، أن نفصل من الأعظم خطًا مساويًا للأصغر.

   المصادرة 1: أن نصل بين أي نقطتين بخط مستقيم.
7. لأن AB مساوٍ لـ DE، وBH لـ EF، ويحيطان بزاويتين متساويتين، فالزاوية BHA مساوية للزاوية EFD، أي للزاوية BCA.

   القضية I.4العلم المتعارف 1

   القضية I.4: إذا كان ضلعان من مثلث مساويين لضلعين من مثلث آخر كلٌّ لنظيره، وكانت الزاويتان اللتان يحيط بهما الضلعان المتساويان متساويتين، فإن القاعدة تساوي القاعدة، والمثلث يساوي المثلث، والزاويتين الباقيتين تساويان الزاويتين الباقيتين كلٌّ لنظيرتها.

   العلم المتعارف 1: الأشياء المساوية لشيء واحد متساوية.
8. فتكون في المثلث AHC الزاوية الخارجة BHA مساوية للزاوية الداخلة المقابلة BCA، وهذا محال. فـ BC مساوٍ لـ EF، والمثلثان متساويان من كل وجه.

   القضية I.16القضية I.4

   القضية I.16: في كل مثلث، إذا أُخرج أحد أضلاعه، فإن الزاوية الخارجة أعظم من كل واحدة من الزاويتين الداخلتين المقابلتين لها.

   القضية I.4: إذا كان ضلعان من مثلث مساويين لضلعين من مثلث آخر كلٌّ لنظيره، وكانت الزاويتان اللتان يحيط بهما الضلعان المتساويان متساويتين، فإن القاعدة تساوي القاعدة، والمثلث يساوي المثلث، والزاويتين الباقيتين تساويان الزاويتين الباقيتين كلٌّ لنظيرتها.

وذلك ما أردنا أن نبيّن.