Предложение I.26 · Теорема
Если два треугольника имеют два угла, равные соответственно двум углам, и одну сторону, равную одной стороне, — либо прилежащую к равным углам, либо стягивающую один из равных углов, — то они будут иметь и остальные стороны равными остальным сторонам, и остальной угол — остальному углу.
Перетаскивайте точки, обведённые красным. Чертёж меняется, а каждый шаг доказательства остаётся верным.
- Пусть ABC, DEF — два треугольника, у которых два угла ABC, BCA соответственно равны двум углам DEF, EFD, и одна сторона равна одной стороне. Сначала пусть равны стороны, прилежащие к равным углам: BC равна EF. Утверждается, что и остальные стороны и остальной угол равны. (Можно перетаскивать A, B, C, D.)
- Если AB не равна DE, то одна из них больше. Пусть больше AB; отложим BG, равную DE, и проведём GC. (Точка G нарисована там, где её поместило бы это допущение.)Предложение I.3Постулат 1Предложение I.3: Даны две неравные прямые; отнять от большей прямую, равную меньшей.Постулат 1: Допустим, что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.
- Так как GB равна DE, а BC равна EF, и угол GBC равен углу DEF, то треугольник GBC равен треугольнику DEF, и угол GCB равен углу DFE.Предложение I.4Предложение I.4: Если два треугольника имеют две стороны, равные соответственно двум сторонам, и угол, заключённый между равными прямыми, равен углу, то они будут иметь и основание, равное основанию, треугольник будет равен треугольнику, и остальные углы будут равны остальным углам соответственно.
- Но угол DFE по предположению равен углу BCA; значит, угол BCG равен углу BCA, меньший большему, что невозможно. Значит, AB равна DE.Аксиома 1Аксиома 1: Равные одному и тому же равны и между собой.
- Итак, две стороны AB, BC равны двум сторонам DE, EF, и угол ABC равен углу DEF; значит, AC равна DF, и угол BAC равен углу EDF.Предложение I.4Предложение I.4: Если два треугольника имеют две стороны, равные соответственно двум сторонам, и угол, заключённый между равными прямыми, равен углу, то они будут иметь и основание, равное основанию, треугольник будет равен треугольнику, и остальные углы будут равны остальным углам соответственно.
- Теперь пусть равны стороны, лежащие против равных углов: AB равна DE. Если BC не равна EF, пусть больше BC; отложим BH, равную EF, и проведём AH. (Точка H также нарисована по допущению.)Предложение I.3Постулат 1Предложение I.3: Даны две неравные прямые; отнять от большей прямую, равную меньшей.Постулат 1: Допустим, что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.
- Так как AB равна DE, а BH равна EF, и они заключают равные углы, то угол BHA равен углу EFD, то есть углу BCA.Предложение I.4Аксиома 1Предложение I.4: Если два треугольника имеют две стороны, равные соответственно двум сторонам, и угол, заключённый между равными прямыми, равен углу, то они будут иметь и основание, равное основанию, треугольник будет равен треугольнику, и остальные углы будут равны остальным углам соответственно.Аксиома 1: Равные одному и тому же равны и между собой.
- Тогда в треугольнике AHC внешний угол BHA равен внутреннему противолежащему углу BCA, что невозможно. Значит, BC равна EF, и треугольники равны во всём.Предложение I.16Предложение I.4Предложение I.16: Во всяком треугольнике при продолжении одной из сторон внешний угол больше каждого из внутренних, ему противолежащих.Предложение I.4: Если два треугольника имеют две стороны, равные соответственно двум сторонам, и угол, заключённый между равными прямыми, равен углу, то они будут иметь и основание, равное основанию, треугольник будет равен треугольнику, и остальные углы будут равны остальным углам соответственно.
Что и требовалось доказать.