Euklids Elemente Buch I

1. In den zwei Dreiecken ABC, DEF seien die zwei Winkel ABC, BCA den zwei Winkeln DEF, EFD gleich, und eine Seite sei einer Seite gleich. Zuerst seien die Seiten an den gleichen Winkeln gleich: BC gleich EF. Behauptung: Auch die übrigen Seiten und der übrige Winkel sind gleich. (A, B, C, D lassen sich ziehen.)
2. Wäre AB ungleich DE, so wäre eine von beiden größer. Es sei AB größer; man mache BG gleich DE und ziehe GC. (G ist so gezeichnet, wie diese Annahme es verlangen würde.)

   Proposition I.3Postulat 1

   Proposition I.3: Wenn zwei ungleiche Strecken gegeben sind, auf der größeren eine der kleineren gleiche Strecke abzutragen.

   Postulat 1: Gefordert soll sein, dass man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen kann,
3. Da GB gleich DE und BC gleich EF ist und der Winkel GBC gleich dem Winkel DEF, ist das Dreieck GBC dem Dreieck DEF gleich und der Winkel GCB gleich dem Winkel DFE.

   Proposition I.4

   Proposition I.4: Wenn in zwei Dreiecken zwei Seiten zwei Seiten entsprechend gleich sind und die von den gleichen Strecken umfassten Winkel einander gleich sind, dann ist auch die Grundlinie der Grundlinie gleich, das Dreieck dem Dreieck, und die übrigen Winkel sind den übrigen Winkeln entsprechend gleich.
4. Der Winkel DFE ist aber nach Voraussetzung gleich dem Winkel BCA; also wäre der Winkel BCG gleich dem Winkel BCA, der kleinere dem größeren, was unmöglich ist. Also ist AB gleich DE.

   Axiom 1

   Axiom 1: Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich.
5. Somit sind die zwei Seiten AB, BC den zwei Seiten DE, EF gleich und der Winkel ABC gleich dem Winkel DEF; also ist AC gleich DF und der Winkel BAC gleich dem Winkel EDF.

   Proposition I.4

   Proposition I.4: Wenn in zwei Dreiecken zwei Seiten zwei Seiten entsprechend gleich sind und die von den gleichen Strecken umfassten Winkel einander gleich sind, dann ist auch die Grundlinie der Grundlinie gleich, das Dreieck dem Dreieck, und die übrigen Winkel sind den übrigen Winkeln entsprechend gleich.
6. Nun seien die Seiten gleich, die gleichen Winkeln gegenüberliegen: AB gleich DE. Wäre BC ungleich EF, so sei BC größer; man mache BH gleich EF und ziehe AH. (Auch H ist nach der Annahme gezeichnet.)

   Proposition I.3Postulat 1

   Proposition I.3: Wenn zwei ungleiche Strecken gegeben sind, auf der größeren eine der kleineren gleiche Strecke abzutragen.

   Postulat 1: Gefordert soll sein, dass man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen kann,
7. Da AB gleich DE und BH gleich EF ist und sie gleiche Winkel umfassen, ist der Winkel BHA gleich dem Winkel EFD, also gleich dem Winkel BCA.

   Proposition I.4Axiom 1

   Proposition I.4: Wenn in zwei Dreiecken zwei Seiten zwei Seiten entsprechend gleich sind und die von den gleichen Strecken umfassten Winkel einander gleich sind, dann ist auch die Grundlinie der Grundlinie gleich, das Dreieck dem Dreieck, und die übrigen Winkel sind den übrigen Winkeln entsprechend gleich.

   Axiom 1: Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich.
8. Dann wäre im Dreieck AHC der Außenwinkel BHA gleich dem innen gegenüberliegenden Winkel BCA, was unmöglich ist. Also ist BC gleich EF, und die Dreiecke sind in allem gleich.

   Proposition I.16Proposition I.4

   Proposition I.16: In jedem Dreieck ist, wenn man eine Seite verlängert, der Außenwinkel größer als jeder der beiden inneren gegenüberliegenden Winkel.

   Proposition I.4: Wenn in zwei Dreiecken zwei Seiten zwei Seiten entsprechend gleich sind und die von den gleichen Strecken umfassten Winkel einander gleich sind, dann ist auch die Grundlinie der Grundlinie gleich, das Dreieck dem Dreieck, und die übrigen Winkel sind den übrigen Winkeln entsprechend gleich.

Das war zu beweisen.