Les Éléments d'Euclide Livre I

1. Soient ABC, DEF deux triangles ayant les deux angles ABC, BCA égaux respectivement aux deux angles DEF, EFD, et un côté égal à un côté. Que d'abord les côtés égaux soient ceux qui joignent les angles égaux : BC égal à EF. Je dis que les côtés restants et l'angle restant sont aussi égaux. (On peut déplacer A, B, C, D.)
2. Si AB n'est pas égal à DE, l'un des deux est plus grand. Que AB soit plus grand ; faisons BG égale à DE et menons GC. (G est placé comme le voudrait cette supposition.)

   Proposition I.3Demande 1

   Proposition I.3 : Deux droites inégales étant données, retrancher de la plus grande une droite égale à la plus petite.

   Demande 1 : Mener une droite d'un point quelconque à un point quelconque.
3. Puisque GB est égale à DE et BC à EF, et que l'angle GBC est égal à l'angle DEF, le triangle GBC est égal au triangle DEF, et l'angle GCB est égal à l'angle DFE.

   Proposition I.4

   Proposition I.4 : Si deux triangles ont deux côtés égaux à deux côtés, chacun à chacun, et les angles compris par les droites égales égaux, ils auront aussi la base égale à la base, le triangle sera égal au triangle, et les angles restants seront égaux aux angles restants, chacun à chacun.
4. Mais l'angle DFE est égal par hypothèse à l'angle BCA ; donc l'angle BCG est égal à l'angle BCA, le plus petit au plus grand, ce qui est impossible. Donc AB est égal à DE.

   Notion commune 1

   Notion commune 1 : Les choses égales à une même chose sont égales entre elles.
5. Ainsi les deux côtés AB, BC sont égaux aux deux côtés DE, EF, et l'angle ABC est égal à l'angle DEF ; donc AC est égal à DF, et l'angle BAC à l'angle EDF.

   Proposition I.4

   Proposition I.4 : Si deux triangles ont deux côtés égaux à deux côtés, chacun à chacun, et les angles compris par les droites égales égaux, ils auront aussi la base égale à la base, le triangle sera égal au triangle, et les angles restants seront égaux aux angles restants, chacun à chacun.
6. Que maintenant les côtés égaux soient ceux qui sous-tendent des angles égaux : AB égal à DE. Si BC n'est pas égal à EF, que BC soit plus grand ; faisons BH égale à EF et menons AH. (H est aussi placé selon la supposition.)

   Proposition I.3Demande 1

   Proposition I.3 : Deux droites inégales étant données, retrancher de la plus grande une droite égale à la plus petite.

   Demande 1 : Mener une droite d'un point quelconque à un point quelconque.
7. Puisque AB est égal à DE et BH à EF, et qu'ils comprennent des angles égaux, l'angle BHA est égal à l'angle EFD, c'est-à-dire à l'angle BCA.

   Proposition I.4Notion commune 1

   Proposition I.4 : Si deux triangles ont deux côtés égaux à deux côtés, chacun à chacun, et les angles compris par les droites égales égaux, ils auront aussi la base égale à la base, le triangle sera égal au triangle, et les angles restants seront égaux aux angles restants, chacun à chacun.

   Notion commune 1 : Les choses égales à une même chose sont égales entre elles.
8. Alors, dans le triangle AHC, l'angle extérieur BHA est égal à l'angle intérieur et opposé BCA, ce qui est impossible. Donc BC est égal à EF, et les triangles sont égaux en tout.

   Proposition I.16Proposition I.4

   Proposition I.16 : Dans tout triangle, si l'on prolonge un des côtés, l'angle extérieur est plus grand que chacun des angles intérieurs et opposés.

   Proposition I.4 : Si deux triangles ont deux côtés égaux à deux côtés, chacun à chacun, et les angles compris par les droites égales égaux, ils auront aussi la base égale à la base, le triangle sera égal au triangle, et les angles restants seront égaux aux angles restants, chacun à chacun.

Ce qu'il fallait démontrer.