Elementos de Euclides Libro I

23 definiciones · 5 postulados · 5 nociones comunes · 48 proposiciones

Proposición I.26 · Teorema

Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales respectivamente a dos ángulos y un lado igual a un lado, ya sea el adyacente a los ángulos iguales o el que subtiende uno de ellos, tendrán también los lados restantes iguales a los lados restantes y el ángulo restante igual al ángulo restante.

Arrastra los puntos marcados con un círculo rojo. La figura cambia y cada paso de la demostración sigue siendo válido.
  1. Sean ABC, DEF dos triángulos que tienen los dos ángulos ABC, BCA iguales respectivamente a los dos ángulos DEF, EFD, y un lado igual a un lado. Sean primero iguales los lados adyacentes a los ángulos iguales: BC igual a EF. Se afirma que los lados restantes y el ángulo restante son también iguales. (Se pueden arrastrar A, B, C, D.)
  2. Si AB no es igual a DE, uno de ellos es mayor. Sea mayor AB; hágase BG igual a DE y trácese GC. (G está dibujado donde lo situaría esta suposición.)
    Proposición I.3Postulado 1
    Proposición I.3: Dadas dos rectas desiguales, quitar de la mayor una recta igual a la menor.
    Postulado 1: Trazar una línea recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera.
  3. Como GB es igual a DE y BC a EF, y el ángulo GBC es igual al ángulo DEF, el triángulo GBC es igual al triángulo DEF, y el ángulo GCB es igual al ángulo DFE.
    Proposición I.4
    Proposición I.4: Si dos triángulos tienen dos lados iguales respectivamente a dos lados y tienen iguales los ángulos comprendidos por las rectas iguales, tendrán también la base igual a la base, el triángulo será igual al triángulo y los ángulos restantes serán iguales a los ángulos restantes.
  4. Pero el ángulo DFE es igual por hipótesis al ángulo BCA; por tanto el ángulo BCG es igual al ángulo BCA, el menor al mayor, lo cual es imposible. Por tanto AB es igual a DE.
    Noción común 1
    Noción común 1: Las cosas iguales a una misma cosa son también iguales entre sí.
  5. Así, los dos lados AB, BC son iguales a los dos lados DE, EF, y el ángulo ABC es igual al ángulo DEF; por tanto AC es igual a DF, y el ángulo BAC al ángulo EDF.
    Proposición I.4
    Proposición I.4: Si dos triángulos tienen dos lados iguales respectivamente a dos lados y tienen iguales los ángulos comprendidos por las rectas iguales, tendrán también la base igual a la base, el triángulo será igual al triángulo y los ángulos restantes serán iguales a los ángulos restantes.
  6. Sean ahora iguales los lados que subtienden ángulos iguales: AB igual a DE. Si BC no es igual a EF, sea mayor BC; hágase BH igual a EF y trácese AH. (También H está dibujado según la suposición.)
    Proposición I.3Postulado 1
    Proposición I.3: Dadas dos rectas desiguales, quitar de la mayor una recta igual a la menor.
    Postulado 1: Trazar una línea recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera.
  7. Como AB es igual a DE y BH a EF, y comprenden ángulos iguales, el ángulo BHA es igual al ángulo EFD, es decir, al ángulo BCA.
    Proposición I.4Noción común 1
    Proposición I.4: Si dos triángulos tienen dos lados iguales respectivamente a dos lados y tienen iguales los ángulos comprendidos por las rectas iguales, tendrán también la base igual a la base, el triángulo será igual al triángulo y los ángulos restantes serán iguales a los ángulos restantes.
    Noción común 1: Las cosas iguales a una misma cosa son también iguales entre sí.
  8. Entonces en el triángulo AHC el ángulo exterior BHA es igual al ángulo interior y opuesto BCA, lo cual es imposible. Por tanto BC es igual a EF, y los triángulos son iguales en todo.
    Proposición I.16Proposición I.4
    Proposición I.16: En todo triángulo, si se prolonga uno de los lados, el ángulo externo es mayor que cada uno de los ángulos internos y opuestos.
    Proposición I.4: Si dos triángulos tienen dos lados iguales respectivamente a dos lados y tienen iguales los ángulos comprendidos por las rectas iguales, tendrán también la base igual a la base, el triángulo será igual al triángulo y los ángulos restantes serán iguales a los ángulos restantes.