यूक्लिड के तत्व पुस्तक I

1. मान लीजिए ABC, DEF दो त्रिभुज हैं जिनके दो कोण ABC, BCA क्रमशः दो कोणों DEF, EFD के बराबर हैं, और एक भुजा एक भुजा के बराबर है। पहले मान लीजिए बराबर भुजाएँ बराबर कोणों के बीच की हैं: BC, EF के बराबर है। दावा: शेष भुजाएँ और शेष कोण भी बराबर हैं। (A, B, C, D को खींचा जा सकता है।)
2. यदि AB, DE के बराबर न हो, तो इनमें से एक बड़ी होगी। मान लीजिए AB बड़ी है; BG को DE के बराबर बनाइए और GC मिलाइए। (G को इसी मान्यता के अनुसार दिखाया गया है।)

   साध्य I.3अभिगृहीत 1

   साध्य I.3: दो असमान सरल रेखाएँ दी हों, तो बड़ी में से छोटी के बराबर सरल रेखा काटना।

   अभिगृहीत 1: किसी भी बिंदु से किसी भी बिंदु तक सरल रेखा खींची जा सकती है।
3. चूँकि GB, DE के बराबर है और BC, EF के बराबर है, और कोण GBC कोण DEF के बराबर है, इसलिए त्रिभुज GBC त्रिभुज DEF के बराबर है, और कोण GCB कोण DFE के बराबर है।

   साध्य I.4

   साध्य I.4: यदि दो त्रिभुजों की दो भुजाएँ क्रमशः दो भुजाओं के बराबर हों और बराबर रेखाओं से बने कोण भी बराबर हों, तो उनके आधार भी बराबर होंगे, त्रिभुज त्रिभुज के बराबर होगा, और शेष कोण क्रमशः शेष कोणों के बराबर होंगे।
4. पर कोण DFE परिकल्पना से कोण BCA के बराबर है; अतः कोण BCG कोण BCA के बराबर होगा, छोटा बड़े के बराबर, जो असंभव है। इसलिए AB, DE के बराबर है।

   स्वयंसिद्ध 1

   स्वयंसिद्ध 1: जो वस्तुएँ एक ही वस्तु के बराबर हों, वे परस्पर भी बराबर होती हैं।
5. अतः दो भुजाएँ AB, BC दो भुजाओं DE, EF के बराबर हैं, और कोण ABC कोण DEF के बराबर है; इसलिए AC, DF के बराबर है, और कोण BAC कोण EDF के बराबर है।

   साध्य I.4

   साध्य I.4: यदि दो त्रिभुजों की दो भुजाएँ क्रमशः दो भुजाओं के बराबर हों और बराबर रेखाओं से बने कोण भी बराबर हों, तो उनके आधार भी बराबर होंगे, त्रिभुज त्रिभुज के बराबर होगा, और शेष कोण क्रमशः शेष कोणों के बराबर होंगे।
6. अब मान लीजिए बराबर कोणों के सामने की भुजाएँ बराबर हैं: AB, DE के बराबर है। यदि BC, EF के बराबर न हो, तो मान लीजिए BC बड़ी है; BH को EF के बराबर बनाइए और AH मिलाइए। (H को भी मान्यता के अनुसार दिखाया गया है।)

   साध्य I.3अभिगृहीत 1

   साध्य I.3: दो असमान सरल रेखाएँ दी हों, तो बड़ी में से छोटी के बराबर सरल रेखा काटना।

   अभिगृहीत 1: किसी भी बिंदु से किसी भी बिंदु तक सरल रेखा खींची जा सकती है।
7. चूँकि AB, DE के बराबर है और BH, EF के बराबर है, और वे बराबर कोण बनाती हैं, इसलिए कोण BHA कोण EFD के बराबर है, यानी कोण BCA के बराबर।

   साध्य I.4स्वयंसिद्ध 1

   साध्य I.4: यदि दो त्रिभुजों की दो भुजाएँ क्रमशः दो भुजाओं के बराबर हों और बराबर रेखाओं से बने कोण भी बराबर हों, तो उनके आधार भी बराबर होंगे, त्रिभुज त्रिभुज के बराबर होगा, और शेष कोण क्रमशः शेष कोणों के बराबर होंगे।

   स्वयंसिद्ध 1: जो वस्तुएँ एक ही वस्तु के बराबर हों, वे परस्पर भी बराबर होती हैं।
8. तब त्रिभुज AHC में बहिष्कोण BHA अंतः सम्मुख कोण BCA के बराबर होगा, जो असंभव है। इसलिए BC, EF के बराबर है, और दोनों त्रिभुज हर प्रकार से बराबर हैं।

   साध्य I.16साध्य I.4

   साध्य I.16: किसी भी त्रिभुज में, एक भुजा बढ़ाने पर बना बहिष्कोण किसी भी अंतः सम्मुख कोण से बड़ा होता है।

   साध्य I.4: यदि दो त्रिभुजों की दो भुजाएँ क्रमशः दो भुजाओं के बराबर हों और बराबर रेखाओं से बने कोण भी बराबर हों, तो उनके आधार भी बराबर होंगे, त्रिभुज त्रिभुज के बराबर होगा, और शेष कोण क्रमशः शेष कोणों के बराबर होंगे।

यही सिद्ध करना था।