Euklids Elemente Buch I

23 Definitionen · 5 Postulate · 5 Axiome · 48 Propositionen

Proposition I.27 · Lehrsatz

Wenn eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei geraden Linien einander gleiche Wechselwinkel bildet, dann sind diese geraden Linien einander parallel.

Ziehen Sie die rot umrandeten Punkte. Die Figur ändert sich, und jeder Schritt des Beweises bleibt gültig.
  1. Die Gerade EF falle auf die zwei Geraden AB, CD und bilde die Wechselwinkel AEF, EFD einander gleich. Behauptung: AB ist parallel zu CD. (Ziehen Sie E, F oder B.)
  2. Andernfalls treffen AB, CD verlängert entweder auf der Seite von B, D oder auf der Seite von A, C zusammen. Sie mögen sich auf der Seite von B, D in G treffen. (G ist so gezeichnet, wie diese Annahme es verlangen würde.)
  3. Dann wäre im Dreieck GEF der Außenwinkel AEF gleich dem innen gegenüberliegenden Winkel EFG, was unmöglich ist.
    Proposition I.16
    Proposition I.16: In jedem Dreieck ist, wenn man eine Seite verlängert, der Außenwinkel größer als jeder der beiden inneren gegenüberliegenden Winkel.
  4. Ebenso treffen sie sich auch nicht auf der Seite von A, C. Geraden, die sich nach keiner Seite treffen, sind parallel; also ist AB parallel zu CD.
    Definition 23
    Definition 23: Parallel sind gerade Linien, die in derselben Ebene liegen und, nach beiden Seiten ins Unendliche verlängert, auf keiner Seite einander treffen.