Proposition I.27 · Angles alternes et parallèles — Les Éléments d'Euclide

Proposition I.27 · Théorème

Si une droite tombant sur deux droites fait les angles alternes égaux entre eux, ces droites seront parallèles.

Déplacez les points entourés de rouge. La figure change, et chaque étape de la démonstration reste vraie.

Que la droite EF tombant sur les deux droites AB, CD fasse les angles alternes AEF, EFD égaux entre eux. Je dis que AB est parallèle à CD. (Essayez de déplacer E, F ou B.)
Sinon, AB, CD prolongées se rencontreront ou du côté de B, D ou du côté de A, C. Qu'elles se rencontrent du côté de B, D en G. (G est placé comme le voudrait cette supposition.)
Alors, dans le triangle GEF, l'angle extérieur AEF est égal à l'angle intérieur et opposé EFG, ce qui est impossible.
Proposition I.16
Proposition I.16 : Dans tout triangle, si l'on prolonge un des côtés, l'angle extérieur est plus grand que chacun des angles intérieurs et opposés.
De même elles ne se rencontrent pas non plus du côté de A, C. Des droites qui ne se rencontrent d'aucun côté sont parallèles ; donc AB est parallèle à CD.
Définition 23
Définition 23 : Les droites parallèles sont celles qui, étant dans un même plan et prolongées à l'infini de part et d'autre, ne se rencontrent ni d'un côté ni de l'autre.