命題 I.27 · 定理
1 直線が 2 直線と交わり、錯角を互いに等しくするならば、その 2 直線は互いに平行である。
赤い丸の点はドラッグできます。図が変わっても、証明の各段階はそのまま成り立ちます。
- 直線 EF が 2 直線 AB、CD に交わって、錯角 AEF、EFD を互いに等しくするとする。主張：AB は CD に平行である。（E、F、B をドラッグしてみてください。）
- そうでなければ、AB、CD を延長すると B、D の側か A、C の側で交わる。B、D の側で G において交わるとする。（G はこの仮定のもとでの位置に描いてあります。）
- すると三角形 GEF において外角 AEF が内対角 EFG に等しくなり、不可能である。命題 I.16命題 I.16：任意の三角形において、1 辺を延長すれば、外角は内対角のいずれよりも大きい。
- 同様に A、C の側でも交わらない。どちらの方向にも交わらない直線は平行である。よって AB は CD に平行である。定義 23定義 23：平行線とは、同じ平面上にあって、両方向に限りなく延長しても、どちらの方向でも互いに交わらない直線である。
これが証明すべきことであった。