命题 I.27 · 定理
若一直线与两直线相交，所成的错角彼此相等，则这两直线平行。
红圈的点可以拖动，图形会随之改变，而证明的每一步仍然成立。
- 设直线 EF 落在两条直线 AB、CD 上，所成的内错角 ∠AEF、∠EFD 相等。断言：AB 平行于 CD。（拖动 E、F 或 B 试试。）
- 如果不然，AB、CD 延长后会在 B、D 一侧或 A、C 一侧相交。设它们在 B、D 一侧相交于 G。（图中的 G 是按这个假设画的。）
- 那么在三角形 GEF 中，外角 ∠AEF 等于内对角 ∠EFG，这是不可能的。命题 I.16命题 I.16：在任意三角形中，若延长一边，则所成的外角大于任何一个内对角。
- 同理，它们也不会在 A、C 一侧相交。在两个方向上都不相交的直线是平行的，所以 AB 平行于 CD。定义 23定义 23：平行直线是在同一平面内，向两个方向无限延长，在两个方向上都不相交的直线。
这就是所要证明的。