Предложение I.27 · Теорема
Если прямая, падающая на две прямые, образует накрест лежащие углы, равные между собой, то эти прямые будут параллельны между собой.
Перетаскивайте точки, обведённые красным. Чертёж меняется, а каждый шаг доказательства остаётся верным.
- Пусть прямая EF, падающая на две прямые AB, CD, образует равные между собой накрест лежащие углы AEF, EFD. Утверждается, что AB параллельна CD. (Попробуйте перетащить E, F или B.)
- Если нет, то AB, CD при продолжении встретятся либо со стороны B, D, либо со стороны A, C. Пусть они встречаются со стороны B, D в точке G. (Точка G нарисована там, где её поместило бы это допущение.)
- Тогда в треугольнике GEF внешний угол AEF равен внутреннему противолежащему углу EFG, что невозможно.Предложение I.16Предложение I.16: Во всяком треугольнике при продолжении одной из сторон внешний угол больше каждого из внутренних, ему противолежащих.
- Подобным же образом они не встречаются и со стороны A, C. Прямые, не встречающиеся ни в одну сторону, параллельны; значит, AB параллельна CD.Определение 23Определение 23: Параллельные суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той, ни с другой стороны между собой не встречаются.
Что и требовалось доказать.