أصول إقليدس المقالة الأولى

1. ليقع الخط المستقيم EF على الخطين المستقيمين AB، CD ويجعل الزاوية الخارجة EGB مساوية للزاوية الداخلة المقابلة لها في الجهة نفسها GHD. فنقول: إن AB موازٍ لـ CD. (جرّب سحب G أو H أو B.)
2. لأن الزاوية EGB مساوية لمقابلتها بالرأس AGH، فالزاوية AGH أيضًا مساوية للزاوية GHD؛ وهما متبادلتان؛

   القضية I.15العلم المتعارف 1

   القضية I.15: إذا تقاطع خطان مستقيمان كانت الزاويتان المتقابلتان بالرأس متساويتين.

   العلم المتعارف 1: الأشياء المساوية لشيء واحد متساوية.
3. فـ AB موازٍ لـ CD.

   القضية I.27

   القضية I.27: إذا وقع خط مستقيم على خطين مستقيمين فجعل الزاويتين المتبادلتين متساويتين، فإن الخطين متوازيان.
4. ثم لتكن الزاويتان الداخلتان في جهة واحدة BGH، GHD مساويتين لقائمتين.
5. والزاويتان AGH، BGH أيضًا مساويتان لقائمتين؛ فمجموع الزاويتين AGH، BGH مساوٍ لمجموع الزاويتين BGH، GHD. ننقص من كلٍّ منهما الزاوية BGH، فتبقى الزاوية AGH مساوية للزاوية الباقية GHD.

   القضية I.13المصادرة 4العلم المتعارف 1العلم المتعارف 3

   القضية I.13: إذا قام خط مستقيم على خط مستقيم فإنه يحدث إما زاويتين قائمتين وإما زاويتين مساويتين لقائمتين.

   المصادرة 4: أن الزوايا القائمة كلها متساوية.

   العلم المتعارف 1: الأشياء المساوية لشيء واحد متساوية.

   العلم المتعارف 3: إذا نُقصت من المتساويات أشياء متساوية كانت البواقي متساوية.
6. وهما متبادلتان؛ فـ AB موازٍ لـ CD.

   القضية I.27

   القضية I.27: إذا وقع خط مستقيم على خطين مستقيمين فجعل الزاويتين المتبادلتين متساويتين، فإن الخطين متوازيان.

وذلك ما أردنا أن نبيّن.