Proposición I.28 · Teorema
Si una recta que incide sobre dos rectas forma el ángulo externo igual al interno y opuesto del mismo lado, o los internos del mismo lado iguales a dos rectos, las rectas serán paralelas entre sí.
Arrastra los puntos marcados con un círculo rojo. La figura cambia y cada paso de la demostración sigue siendo válido.
- Sea la recta EF que cae sobre las dos rectas AB, CD y forma el ángulo exterior EGB igual al ángulo interior y opuesto del mismo lado GHD. Se afirma que AB es paralela a CD. (Prueba a arrastrar G, H o B.)
- Como el ángulo EGB es igual a su opuesto por el vértice AGH, el ángulo AGH es también igual al ángulo GHD; y son alternos;Proposición I.15Noción común 1Proposición I.15: Si dos rectas se cortan, forman ángulos opuestos por el vértice iguales entre sí.Noción común 1: Las cosas iguales a una misma cosa son también iguales entre sí.
- por tanto AB es paralela a CD.Proposición I.27Proposición I.27: Si una recta que incide sobre dos rectas forma ángulos alternos iguales entre sí, las rectas serán paralelas entre sí.
- Sean ahora los ángulos interiores del mismo lado, BGH, GHD, iguales a dos rectos.
- Los ángulos AGH, BGH son también iguales a dos rectos; por tanto los ángulos AGH, BGH son iguales a los ángulos BGH, GHD. Quítese de cada uno el ángulo BGH; el ángulo restante AGH es igual al ángulo restante GHD.Proposición I.13Postulado 4Noción común 1Noción común 3Proposición I.13: Si una recta levantada sobre otra recta forma ángulos, formará o dos ángulos rectos o ángulos iguales a dos rectos.Postulado 4: Que todos los ángulos rectos son iguales entre sí.Noción común 1: Las cosas iguales a una misma cosa son también iguales entre sí.Noción común 3: Si de cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos son iguales.
- Ambos son alternos; por tanto AB es paralela a CD.Proposición I.27Proposición I.27: Si una recta que incide sobre dos rectas forma ángulos alternos iguales entre sí, las rectas serán paralelas entre sí.
Que es lo que había que demostrar.