几何原本 卷一

1. 设直线 EF 落在两条直线 AB、CD 上，所成的外角 ∠EGB 等于同侧的内对角 ∠GHD。断言：AB 平行于 CD。（拖动 G、H 或 B 试试。）
2. 因为 ∠EGB 等于它的对顶角 ∠AGH，所以 ∠AGH 也等于 ∠GHD，而它们是内错角，

   命题 I.15公理 1

   命题 I.15：若两直线相交，则对顶角相等。

   公理 1：等于同量的量彼此相等。
3. 所以 AB 平行于 CD。

   命题 I.27

   命题 I.27：若一直线与两直线相交，所成的错角彼此相等，则这两直线平行。
4. 再设同侧的两个内角 ∠BGH、∠GHD 之和等于两个直角。
5. 而 ∠AGH、∠BGH 之和也等于两个直角，所以 ∠AGH、∠BGH 之和等于 ∠BGH、∠GHD 之和。两边各减去 ∠BGH，余下的 ∠AGH 等于余下的 ∠GHD。

   命题 I.13公设 4公理 1公理 3

   命题 I.13：一条直线与另一条直线所成的角，或者是两个直角，或者等于两直角之和。

   公设 4：凡直角都彼此相等。

   公理 1：等于同量的量彼此相等。

   公理 3：等量减等量，其差仍相等。
6. 它们是内错角，所以 AB 平行于 CD。

   命题 I.27

   命题 I.27：若一直线与两直线相交，所成的错角彼此相等，则这两直线平行。

这就是所要证明的。