यूक्लिड के तत्व पुस्तक I

1. मान लीजिए सरल रेखा EF दो सरल रेखाओं AB, CD पर पड़कर बहिष्कोण EGB को उसी ओर के अंतः सम्मुख कोण GHD के बराबर बनाती है। दावा: AB, CD के समांतर है। (G, H या B को खींचकर देखिए।)
2. चूँकि कोण EGB अपने शीर्षाभिमुख कोण AGH के बराबर है, इसलिए कोण AGH भी कोण GHD के बराबर है; और ये एकांतर कोण हैं;

   साध्य I.15स्वयंसिद्ध 1

   साध्य I.15: यदि दो सरल रेखाएँ एक-दूसरे को काटें, तो शीर्षाभिमुख कोण परस्पर बराबर होते हैं।

   स्वयंसिद्ध 1: जो वस्तुएँ एक ही वस्तु के बराबर हों, वे परस्पर भी बराबर होती हैं।
3. अतः AB, CD के समांतर है।

   साध्य I.27

   साध्य I.27: यदि दो सरल रेखाओं पर पड़ने वाली एक सरल रेखा एकांतर कोणों को परस्पर बराबर बनाए, तो वे सरल रेखाएँ परस्पर समांतर होंगी।
4. अब मान लीजिए एक ही ओर के अंतः कोण BGH, GHD का योग दो समकोणों के बराबर है।
5. कोण AGH, BGH का योग भी दो समकोणों के बराबर है; अतः कोण AGH, BGH का योग कोण BGH, GHD के योग के बराबर है। दोनों में से कोण BGH घटाइए; तो शेष कोण AGH शेष कोण GHD के बराबर है।

   साध्य I.13अभिगृहीत 4स्वयंसिद्ध 1स्वयंसिद्ध 3

   साध्य I.13: यदि कोई सरल रेखा किसी सरल रेखा पर खड़ी होकर कोण बनाए, तो वह या तो दो समकोण बनाएगी या दो समकोणों के बराबर कोण।

   अभिगृहीत 4: सभी समकोण परस्पर बराबर होते हैं।

   स्वयंसिद्ध 1: जो वस्तुएँ एक ही वस्तु के बराबर हों, वे परस्पर भी बराबर होती हैं।

   स्वयंसिद्ध 3: यदि बराबरों में से बराबर घटाए जाएँ, तो शेष बराबर होते हैं।
6. और ये एकांतर कोण हैं; अतः AB, CD के समांतर है।

   साध्य I.27

   साध्य I.27: यदि दो सरल रेखाओं पर पड़ने वाली एक सरल रेखा एकांतर कोणों को परस्पर बराबर बनाए, तो वे सरल रेखाएँ परस्पर समांतर होंगी।

यही सिद्ध करना था।