Les Éléments d'Euclide Livre I

1. Que la droite EF tombant sur les deux droites AB, CD fasse l'angle extérieur EGB égal à l'angle intérieur et opposé GHD du même côté. Je dis que AB est parallèle à CD. (Essayez de déplacer G, H ou B.)
2. Puisque l'angle EGB est égal à son opposé par le sommet AGH, l'angle AGH est aussi égal à l'angle GHD ; et ils sont alternes ;

   Proposition I.15Notion commune 1

   Proposition I.15 : Si deux droites se coupent, elles font les angles opposés au sommet égaux entre eux.

   Notion commune 1 : Les choses égales à une même chose sont égales entre elles.
3. donc AB est parallèle à CD.

   Proposition I.27

   Proposition I.27 : Si une droite tombant sur deux droites fait les angles alternes égaux entre eux, ces droites seront parallèles.
4. Que maintenant les angles intérieurs du même côté, BGH, GHD, soient égaux à deux droits.
5. Les angles AGH, BGH sont aussi égaux à deux droits ; donc les angles AGH, BGH sont égaux aux angles BGH, GHD. Retranchons de part et d'autre l'angle BGH ; l'angle restant AGH est égal à l'angle restant GHD.

   Proposition I.13Demande 4Notion commune 1Notion commune 3

   Proposition I.13 : Si une droite élevée sur une droite fait des angles, elle fera ou deux angles droits, ou des angles égaux à deux droits.

   Demande 4 : Que tous les angles droits sont égaux entre eux.

   Notion commune 1 : Les choses égales à une même chose sont égales entre elles.

   Notion commune 3 : Si de choses égales on retranche des choses égales, les restes sont égaux.
6. Et ils sont alternes ; donc AB est parallèle à CD.

   Proposition I.27

   Proposition I.27 : Si une droite tombant sur deux droites fait les angles alternes égaux entre eux, ces droites seront parallèles.

Ce qu'il fallait démontrer.