Euklids Elemente Buch I

23 Definitionen · 5 Postulate · 5 Axiome · 48 Propositionen

Proposition I.28 · Lehrsatz

Wenn eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei geraden Linien den Außenwinkel dem inneren gegenüberliegenden auf derselben Seite gleich macht oder die inneren auf derselben Seite zusammen zwei Rechten gleich, dann sind diese geraden Linien einander parallel.

Ziehen Sie die rot umrandeten Punkte. Die Figur ändert sich, und jeder Schritt des Beweises bleibt gültig.
  1. Die Gerade EF falle auf die zwei Geraden AB, CD und bilde den Außenwinkel EGB gleich dem auf derselben Seite innen gegenüberliegenden Winkel GHD. Behauptung: AB ist parallel zu CD. (Ziehen Sie G, H oder B.)
  2. Da der Winkel EGB seinem Scheitelwinkel AGH gleich ist, ist auch der Winkel AGH gleich dem Winkel GHD; und sie sind Wechselwinkel;
    Proposition I.15Axiom 1
    Proposition I.15: Wenn zwei gerade Linien einander schneiden, sind die Scheitelwinkel einander gleich.
    Axiom 1: Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich.
  3. also ist AB parallel zu CD.
    Proposition I.27
    Proposition I.27: Wenn eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei geraden Linien einander gleiche Wechselwinkel bildet, dann sind diese geraden Linien einander parallel.
  4. Nun seien die Innenwinkel auf derselben Seite, BGH, GHD, zusammen zwei Rechten gleich.
  5. Auch die Winkel AGH, BGH sind zusammen zwei Rechten gleich; also sind die Winkel AGH, BGH den Winkeln BGH, GHD gleich. Man nehme beiderseits den Winkel BGH weg; dann ist der übrige Winkel AGH gleich dem übrigen Winkel GHD.
    Proposition I.13Postulat 4Axiom 1Axiom 3
    Proposition I.13: Wenn eine gerade Linie, auf eine gerade Linie gestellt, Winkel bildet, so bildet sie entweder zwei Rechte oder Winkel, die zusammen zwei Rechten gleich sind.
    Postulat 4: dass alle rechten Winkel einander gleich sind,
    Axiom 1: Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich.
    Axiom 3: Wenn von Gleichem Gleiches weggenommen wird, sind die Reste gleich.
  6. Und sie sind Wechselwinkel; also ist AB parallel zu CD.
    Proposition I.27
    Proposition I.27: Wenn eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei geraden Linien einander gleiche Wechselwinkel bildet, dann sind diese geraden Linien einander parallel.