Начала Евклида Книга I

1. Пусть прямая EF, падающая на две прямые AB, CD, образует внешний угол EGB, равный внутреннему противолежащему углу GHD с той же стороны. Утверждается, что AB параллельна CD. (Попробуйте перетащить G, H или B.)
2. Так как угол EGB равен вертикальному с ним углу AGH, то и угол AGH равен углу GHD; и они накрест лежащие;

   Предложение I.15Аксиома 1

   Предложение I.15: Если две прямые пересекаются, то они образуют вертикальные углы, равные между собой.

   Аксиома 1: Равные одному и тому же равны и между собой.
3. значит, AB параллельна CD.

   Предложение I.27

   Предложение I.27: Если прямая, падающая на две прямые, образует накрест лежащие углы, равные между собой, то эти прямые будут параллельны между собой.
4. Теперь пусть внутренние углы с одной стороны, BGH, GHD, вместе равны двум прямым.
5. Углы AGH, BGH также вместе равны двум прямым; значит, углы AGH, BGH равны углам BGH, GHD. Отнимем от каждых угол BGH; тогда остающийся угол AGH равен остающемуся углу GHD.

   Предложение I.13Постулат 4Аксиома 1Аксиома 3

   Предложение I.13: Если прямая, восставленная на прямой, образует углы, то она образует или два прямых, или углы, вместе равные двум прямым.

   Постулат 4: И что все прямые углы равны между собой.

   Аксиома 1: Равные одному и тому же равны и между собой.

   Аксиома 3: И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.
6. И они накрест лежащие; значит, AB параллельна CD.

   Предложение I.27

   Предложение I.27: Если прямая, падающая на две прямые, образует накрест лежащие углы, равные между собой, то эти прямые будут параллельны между собой.

Что и требовалось доказать.