ユークリッド原論 第1巻

1. 直線 EF が 2 直線 AB、CD に交わって、外角 EGB を同じ側の内対角 GHD に等しくするとする。主張：AB は CD に平行である。（G、H、B をドラッグしてみてください。）
2. 角 EGB はその対頂角 AGH に等しいから、角 AGH も角 GHD に等しい。そしてこれらは錯角である。

   命題 I.15公理 1

   命題 I.15：2 直線が交われば、対頂角は互いに等しい。

   公理 1：同じものに等しいものは、互いにも等しい。
3. よって AB は CD に平行である。

   命題 I.27

   命題 I.27：1 直線が 2 直線と交わり、錯角を互いに等しくするならば、その 2 直線は互いに平行である。
4. 次に、同じ側の内角 BGH、GHD の和が 2 直角に等しいとする。
5. 角 AGH、BGH の和も 2 直角に等しい。よって角 AGH、BGH の和は角 BGH、GHD の和に等しい。それぞれから角 BGH を引くと、残りの角 AGH は残りの角 GHD に等しい。

   命題 I.13公準 4公理 1公理 3

   命題 I.13：直線が直線の上に立って角をつくるならば、2 直角か、または 2 直角に等しい角をつくる。

   公準 4：すべての直角は互いに等しいこと。

   公理 1：同じものに等しいものは、互いにも等しい。

   公理 3：等しいものから等しいものが引かれれば、残りは等しい。
6. そしてこれらは錯角である。よって AB は CD に平行である。

   命題 I.27

   命題 I.27：1 直線が 2 直線と交わり、錯角を互いに等しくするならば、その 2 直線は互いに平行である。

これが証明すべきことであった。