أصول إقليدس المقالة الأولى

1. ليقع الخط المستقيم EF على الخطين المتوازيين AB، CD. فنقول: إنه يجعل الزاويتين المتبادلتين AGH، GHD متساويتين، والزاوية الخارجة EGB مساوية للزاوية الداخلة المقابلة GHD، والزاويتين الداخلتين في جهة واحدة BGH، GHD مساويتين لقائمتين. (جرّب سحب G أو H أو B.)
2. فإن لم تكن الزاوية AGH مساوية للزاوية GHD فلتكن AGH أعظم. نزيد على كلٍّ منهما الزاوية BGH، فمجموع الزاويتين AGH، BGH أعظم من مجموع الزاويتين BGH، GHD.
3. لكن الزاويتين AGH، BGH مساويتان لقائمتين؛ فمجموع الزاويتين BGH، GHD أصغر من قائمتين.

   القضية I.13

   القضية I.13: إذا قام خط مستقيم على خط مستقيم فإنه يحدث إما زاويتين قائمتين وإما زاويتين مساويتين لقائمتين.
4. والخطان إذا أُخرجا بلا نهاية في جهة الزاويتين اللتين هما أصغر من قائمتين التقيا؛ فيلتقي AB، CD، وهما متوازيان لا يلتقيان، وهذا محال. فالزاوية AGH مساوية للزاوية GHD.

   المصادرة 5التعريف 23

   المصادرة 5: أنه إذا وقع خط مستقيم على خطين مستقيمين فجعل الزاويتين الداخلتين في جهة واحدة أصغر من قائمتين، فإن الخطين إذا أُخرجا بلا نهاية التقيا في تلك الجهة التي فيها الزاويتان الأصغر من قائمتين.

   التعريف 23: الخطوط المستقيمة المتوازية هي التي تكون في سطح واحد، وإذا أُخرجت في الجهتين بلا نهاية لم تلتقِ في أيّ منهما.
5. وأيضًا الزاوية AGH مساوية لمقابلتها بالرأس EGB؛ فالزاوية EGB أيضًا مساوية للزاوية GHD.

   القضية I.15العلم المتعارف 1

   القضية I.15: إذا تقاطع خطان مستقيمان كانت الزاويتان المتقابلتان بالرأس متساويتين.

   العلم المتعارف 1: الأشياء المساوية لشيء واحد متساوية.
6. نزيد على كلٍّ منهما الزاوية BGH، فمجموع الزاويتين EGB، BGH مساوٍ لمجموع الزاويتين BGH، GHD. والأولان مساويان لقائمتين؛ فالزاويتان BGH، GHD أيضًا مساويتان لقائمتين.

   العلم المتعارف 2القضية I.13

   العلم المتعارف 2: إذا زيدت على المتساويات أشياء متساوية كانت الجملة متساوية.

   القضية I.13: إذا قام خط مستقيم على خط مستقيم فإنه يحدث إما زاويتين قائمتين وإما زاويتين مساويتين لقائمتين.

وذلك ما أردنا أن نبيّن.