Les Éléments d'Euclide Livre I

23 définitions · 5 demandes · 5 notions communes · 48 propositions

Proposition I.29 · Théorème

Une droite tombant sur des droites parallèles fait les angles alternes égaux entre eux, l'angle extérieur égal à l'angle intérieur opposé, et les angles intérieurs du même côté égaux à deux droits.

Déplacez les points entourés de rouge. La figure change, et chaque étape de la démonstration reste vraie.
  1. Que la droite EF tombe sur les droites parallèles AB, CD. Je dis qu'elle fait les angles alternes AGH, GHD égaux, l'angle extérieur EGB égal à l'angle intérieur et opposé GHD, et les angles intérieurs du même côté, BGH, GHD, égaux à deux droits. (Essayez de déplacer G, H ou B.)
  2. Si l'angle AGH n'est pas égal à l'angle GHD, que l'angle AGH soit le plus grand. Ajoutons à chacun l'angle BGH ; les angles AGH, BGH sont alors plus grands que les angles BGH, GHD.
  3. Mais les angles AGH, BGH sont égaux à deux droits ; donc les angles BGH, GHD sont plus petits que deux droits.
    Proposition I.13
    Proposition I.13 : Si une droite élevée sur une droite fait des angles, elle fera ou deux angles droits, ou des angles égaux à deux droits.
  4. Or des droites prolongées à l'infini du côté où les angles sont plus petits que deux droits se rencontrent ; donc AB, CD se rencontreraient, alors qu'elles sont parallèles et ne se rencontrent pas, ce qui est impossible. Donc l'angle AGH est égal à l'angle GHD.
    Demande 5Définition 23
    Demande 5 : Que, si une droite tombant sur deux droites fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces deux droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits.
    Définition 23 : Les droites parallèles sont celles qui, étant dans un même plan et prolongées à l'infini de part et d'autre, ne se rencontrent ni d'un côté ni de l'autre.
  5. De plus, l'angle AGH est égal à son opposé par le sommet EGB ; donc l'angle EGB est aussi égal à l'angle GHD.
    Proposition I.15Notion commune 1
    Proposition I.15 : Si deux droites se coupent, elles font les angles opposés au sommet égaux entre eux.
    Notion commune 1 : Les choses égales à une même chose sont égales entre elles.
  6. Ajoutons à chacun l'angle BGH ; les angles EGB, BGH sont alors égaux aux angles BGH, GHD. Les premiers sont égaux à deux droits ; donc les angles BGH, GHD sont aussi égaux à deux droits.
    Notion commune 2Proposition I.13
    Notion commune 2 : Si à des choses égales on ajoute des choses égales, les touts sont égaux.
    Proposition I.13 : Si une droite élevée sur une droite fait des angles, elle fera ou deux angles droits, ou des angles égaux à deux droits.