Elementos de Euclides Libro I

23 definiciones · 5 postulados · 5 nociones comunes · 48 proposiciones

Proposición I.29 · Teorema

Una recta que incide sobre rectas paralelas forma los ángulos alternos iguales entre sí, el externo igual al interno y opuesto, y los internos del mismo lado iguales a dos rectos.

Arrastra los puntos marcados con un círculo rojo. La figura cambia y cada paso de la demostración sigue siendo válido.
  1. Caiga la recta EF sobre las rectas paralelas AB, CD. Se afirma que forma los ángulos alternos AGH, GHD iguales, el ángulo exterior EGB igual al ángulo interior y opuesto GHD, y los ángulos interiores del mismo lado, BGH, GHD, iguales a dos rectos. (Prueba a arrastrar G, H o B.)
  2. Si el ángulo AGH no es igual al ángulo GHD, sea mayor el ángulo AGH. Añádase a cada uno el ángulo BGH; entonces los ángulos AGH, BGH son mayores que los ángulos BGH, GHD.
  3. Pero los ángulos AGH, BGH son iguales a dos rectos; por tanto los ángulos BGH, GHD son menores que dos rectos.
    Proposición I.13
    Proposición I.13: Si una recta levantada sobre otra recta forma ángulos, formará o dos ángulos rectos o ángulos iguales a dos rectos.
  4. Pero las rectas prolongadas indefinidamente desde ángulos menores que dos rectos se encuentran; así AB, CD se encontrarían, aunque son paralelas y no se encuentran, lo cual es imposible. Por tanto el ángulo AGH es igual al ángulo GHD.
    Postulado 5Definición 23
    Postulado 5: Que, si una recta que incide sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas, prolongadas indefinidamente, se encontrarán en el lado en que están los ángulos menores que dos rectos.
    Definición 23: Son rectas paralelas las que, estando en el mismo plano y prolongadas indefinidamente en ambos sentidos, no se encuentran en ninguno de ellos.
  5. Además, el ángulo AGH es igual a su opuesto por el vértice EGB; por tanto el ángulo EGB es también igual al ángulo GHD.
    Proposición I.15Noción común 1
    Proposición I.15: Si dos rectas se cortan, forman ángulos opuestos por el vértice iguales entre sí.
    Noción común 1: Las cosas iguales a una misma cosa son también iguales entre sí.
  6. Añádase a cada uno el ángulo BGH; entonces los ángulos EGB, BGH son iguales a los ángulos BGH, GHD. Los primeros son iguales a dos rectos; por tanto los ángulos BGH, GHD son también iguales a dos rectos.
    Noción común 2Proposición I.13
    Noción común 2: Si a cosas iguales se añaden cosas iguales, los totales son iguales.
    Proposición I.13: Si una recta levantada sobre otra recta forma ángulos, formará o dos ángulos rectos o ángulos iguales a dos rectos.