Euklids Elemente Buch I

23 Definitionen · 5 Postulate · 5 Axiome · 48 Propositionen

Proposition I.29 · Lehrsatz

Eine gerade Linie, die zwei parallele gerade Linien schneidet, bildet einander gleiche Wechselwinkel, macht den Außenwinkel dem inneren gegenüberliegenden gleich und die inneren auf derselben Seite zusammen zwei Rechten gleich.

Ziehen Sie die rot umrandeten Punkte. Die Figur ändert sich, und jeder Schritt des Beweises bleibt gültig.
  1. Die Gerade EF falle auf die parallelen Geraden AB, CD. Behauptung: Sie bildet die Wechselwinkel AGH, GHD gleich, den Außenwinkel EGB gleich dem innen gegenüberliegenden Winkel GHD, und die Innenwinkel auf derselben Seite, BGH, GHD, zusammen zwei Rechten gleich. (Ziehen Sie G, H oder B.)
  2. Wäre der Winkel AGH ungleich dem Winkel GHD, so sei der Winkel AGH größer. Man füge beiderseits den Winkel BGH hinzu; dann sind die Winkel AGH, BGH größer als die Winkel BGH, GHD.
  3. Die Winkel AGH, BGH sind aber zusammen zwei Rechten gleich; also sind die Winkel BGH, GHD zusammen kleiner als zwei Rechte.
    Proposition I.13
    Proposition I.13: Wenn eine gerade Linie, auf eine gerade Linie gestellt, Winkel bildet, so bildet sie entweder zwei Rechte oder Winkel, die zusammen zwei Rechten gleich sind.
  4. Geraden, die von Winkeln kleiner als zwei Rechte aus ins Unendliche verlängert werden, treffen sich aber; also träfen sich AB, CD, obwohl sie parallel sind und sich nicht treffen, was unmöglich ist. Also ist der Winkel AGH gleich dem Winkel GHD.
    Postulat 5Definition 23
    Postulat 5: und dass, wenn eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei geraden Linien bewirkt, dass innen auf derselben Seite entstehende Winkel zusammen kleiner als zwei Rechte werden, dann die zwei geraden Linien bei Verlängerung ins Unendliche sich auf der Seite treffen, auf der die Winkel liegen, die zusammen kleiner als zwei Rechte sind.
    Definition 23: Parallel sind gerade Linien, die in derselben Ebene liegen und, nach beiden Seiten ins Unendliche verlängert, auf keiner Seite einander treffen.
  5. Ferner ist der Winkel AGH seinem Scheitelwinkel EGB gleich; also ist auch der Winkel EGB gleich dem Winkel GHD.
    Proposition I.15Axiom 1
    Proposition I.15: Wenn zwei gerade Linien einander schneiden, sind die Scheitelwinkel einander gleich.
    Axiom 1: Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich.
  6. Man füge beiderseits den Winkel BGH hinzu; dann sind die Winkel EGB, BGH den Winkeln BGH, GHD gleich. Jene sind zusammen zwei Rechten gleich; also sind auch die Winkel BGH, GHD zusammen zwei Rechten gleich.
    Axiom 2Proposition I.13
    Axiom 2: Wenn Gleichem Gleiches hinzugefügt wird, sind die Ganzen gleich.
    Proposition I.13: Wenn eine gerade Linie, auf eine gerade Linie gestellt, Winkel bildet, so bildet sie entweder zwei Rechte oder Winkel, die zusammen zwei Rechten gleich sind.