Начала Евклида Книга I

23 определения · 5 постулатов · 5 аксиом · 48 предложений

Предложение I.29 · Теорема

Прямая, падающая на параллельные прямые, образует накрест лежащие углы, равные между собой, внешний угол, равный внутреннему противолежащему, и внутренние односторонние углы, вместе равные двум прямым.

Перетаскивайте точки, обведённые красным. Чертёж меняется, а каждый шаг доказательства остаётся верным.
  1. Пусть прямая EF падает на параллельные прямые AB, CD. Утверждается, что она образует равные накрест лежащие углы AGH, GHD, внешний угол EGB, равный внутреннему противолежащему углу GHD, и внутренние углы с одной стороны, BGH, GHD, вместе равные двум прямым. (Попробуйте перетащить G, H или B.)
  2. Если угол AGH не равен углу GHD, пусть угол AGH больше. Прибавим к каждому угол BGH; тогда углы AGH, BGH больше углов BGH, GHD.
  3. Но углы AGH, BGH вместе равны двум прямым; значит, углы BGH, GHD вместе меньше двух прямых.
    Предложение I.13
    Предложение I.13: Если прямая, восставленная на прямой, образует углы, то она образует или два прямых, или углы, вместе равные двум прямым.
  4. Но прямые, неограниченно продолженные со стороны углов, меньших двух прямых, встречаются; значит, AB, CD встретились бы, хотя они параллельны и не встречаются, что невозможно. Значит, угол AGH равен углу GHD.
    Постулат 5Определение 23
    Постулат 5: И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.
    Определение 23: Параллельные суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той, ни с другой стороны между собой не встречаются.
  5. Далее, угол AGH равен вертикальному с ним углу EGB; значит, и угол EGB равен углу GHD.
    Предложение I.15Аксиома 1
    Предложение I.15: Если две прямые пересекаются, то они образуют вертикальные углы, равные между собой.
    Аксиома 1: Равные одному и тому же равны и между собой.
  6. Прибавим к каждому угол BGH; тогда углы EGB, BGH равны углам BGH, GHD. Первые вместе равны двум прямым; значит, и углы BGH, GHD вместе равны двум прямым.
    Аксиома 2Предложение I.13
    Аксиома 2: И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.
    Предложение I.13: Если прямая, восставленная на прямой, образует углы, то она образует или два прямых, или углы, вместе равные двум прямым.