यूक्लिड के तत्व पुस्तक I

1. मान लीजिए सरल रेखा EF समांतर सरल रेखाओं AB, CD पर पड़ती है। दावा: वह एकांतर कोण AGH, GHD बराबर बनाती है, बहिष्कोण EGB अंतः सम्मुख कोण GHD के बराबर बनाती है, और एक ही ओर के अंतः कोण BGH, GHD का योग दो समकोणों के बराबर बनाती है। (G, H या B को खींचकर देखिए।)
2. यदि कोण AGH कोण GHD के बराबर न हो, तो मान लीजिए कोण AGH बड़ा है। दोनों में कोण BGH जोड़िए; तो कोण AGH, BGH का योग कोण BGH, GHD के योग से बड़ा है।
3. पर कोण AGH, BGH का योग दो समकोणों के बराबर है; अतः कोण BGH, GHD का योग दो समकोणों से कम है।

   साध्य I.13

   साध्य I.13: यदि कोई सरल रेखा किसी सरल रेखा पर खड़ी होकर कोण बनाए, तो वह या तो दो समकोण बनाएगी या दो समकोणों के बराबर कोण।
4. पर दो समकोणों से कम कोणों की ओर अनंत तक बढ़ाई गई सरल रेखाएँ मिलती हैं; तो AB, CD मिलेंगी, जबकि वे समांतर हैं और नहीं मिलतीं, जो असंभव है। अतः कोण AGH कोण GHD के बराबर है।

   अभिगृहीत 5परिभाषा 23

   अभिगृहीत 5: यदि दो सरल रेखाओं पर पड़ने वाली एक सरल रेखा एक ही ओर के अंतःकोणों का योग दो समकोणों से कम बनाती है, तो वे दोनों रेखाएँ अनंत तक बढ़ाने पर उसी ओर मिलेंगी जिस ओर कोणों का योग दो समकोणों से कम है।

   परिभाषा 23: समांतर सरल रेखाएँ वे हैं जो एक ही तल में हों और दोनों दिशाओं में अनंत तक बढ़ाने पर भी किसी भी दिशा में न मिलें।
5. फिर, कोण AGH अपने शीर्षाभिमुख कोण EGB के बराबर है; अतः कोण EGB भी कोण GHD के बराबर है।

   साध्य I.15स्वयंसिद्ध 1

   साध्य I.15: यदि दो सरल रेखाएँ एक-दूसरे को काटें, तो शीर्षाभिमुख कोण परस्पर बराबर होते हैं।

   स्वयंसिद्ध 1: जो वस्तुएँ एक ही वस्तु के बराबर हों, वे परस्पर भी बराबर होती हैं।
6. दोनों में कोण BGH जोड़िए; तो कोण EGB, BGH का योग कोण BGH, GHD के योग के बराबर है। पहला योग दो समकोणों के बराबर है; अतः कोण BGH, GHD का योग भी दो समकोणों के बराबर है।

   स्वयंसिद्ध 2साध्य I.13

   स्वयंसिद्ध 2: यदि बराबरों में बराबर जोड़े जाएँ, तो पूर्ण बराबर होते हैं।

   साध्य I.13: यदि कोई सरल रेखा किसी सरल रेखा पर खड़ी होकर कोण बनाए, तो वह या तो दो समकोण बनाएगी या दो समकोणों के बराबर कोण।

यही सिद्ध करना था।