命题 I.29 · 定理
一直线与两平行直线相交，则所成的错角相等，同位角相等，同旁内角之和等于两直角。
红圈的点可以拖动，图形会随之改变，而证明的每一步仍然成立。
- 设直线 EF 落在平行直线 AB、CD 上。断言：内错角 ∠AGH、∠GHD 相等，外角 ∠EGB 等于同侧的内对角 ∠GHD，同侧内角 ∠BGH、∠GHD 之和等于两个直角。（拖动 G、H 或 B 试试。）
- 如果 ∠AGH 不等于 ∠GHD，设 ∠AGH 较大。两边各加上 ∠BGH，于是 ∠AGH、∠BGH 之和大于 ∠BGH、∠GHD 之和。
- 而 ∠AGH、∠BGH 之和等于两个直角，所以 ∠BGH、∠GHD 之和小于两个直角。命题 I.13命题 I.13：一条直线与另一条直线所成的角，或者是两个直角，或者等于两直角之和。
- 但两条直线从小于两个直角的那一侧无限延长必定相交，而 AB、CD 平行，不会相交，矛盾。所以 ∠AGH 等于 ∠GHD。公设 5定义 23公设 5：同平面内一条直线与另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角之和小于两直角，则这两条直线经无限延长后在这一侧相交。定义 23：平行直线是在同一平面内，向两个方向无限延长，在两个方向上都不相交的直线。
- 又 ∠AGH 等于它的对顶角 ∠EGB，所以 ∠EGB 也等于 ∠GHD。命题 I.15公理 1命题 I.15：若两直线相交，则对顶角相等。公理 1：等于同量的量彼此相等。
- 两边各加上 ∠BGH，于是 ∠EGB、∠BGH 之和等于 ∠BGH、∠GHD 之和。前者等于两个直角，所以 ∠BGH、∠GHD 之和也等于两个直角。公理 2命题 I.13公理 2：等量加等量，其和仍相等。命题 I.13：一条直线与另一条直线所成的角，或者是两个直角，或者等于两直角之和。
这就是所要证明的。